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高中数学奥赛辅导专题立体几何（传统方法与向量方法）
立体几何（传统方法）
知识精要1．直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究．这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法．2．四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来．较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决．解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法．3．解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用．在解决球相切问题时，注意球心连线通过切点，球心距等于两球半径之和．因此，研究多球相切问题时，连结球心，从而转化为多面体问题．例题1从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．解答考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的D1端点相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故K的最大值是4．练习1：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点A1中，问共线的三点组的个数是多少解答：两端点都为顶点的共线三点组共有有
61287228个；两端点都为面的中心共线三点组共D123218个，且没有别的类
AB
C1
B1
C
3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有
型的共线三点组，所以总共有2831849个．例题2：已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，求si
．解答：如右图所示，平面BCD与正方体的12条棱的夹角都等于，过A作AH垂直平面BCD．连DH，则ADH．设正方体的边长为b，则
DH23
2
CA

2bsi
60
0
63
b
DH
AH
63bbb33
2
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B
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所以si
si
ADH
AHAD
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．
练习2：如图所示，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得
AEEBCFFD0，记f，
A
其中
表示EF与AC所成的角，表示EF与
EDB
BD所成的角，证明f0，即f为常数．解答：因ABCD是正四面体，故AC垂直BD，r