作EG平行AC交BC于G，连GF，则GEF，且
CGGBAEFDCFFD
GCF
，所以GF平行BD．
所以GF垂直EG，且EFG．所以f为常数．例题3：三棱锥PABC中，若棱PAx，其余棱长均为1，探讨x是否有最值．解答：当PABC为三棱锥时，x的最小极限是P、A重合，取值为0，若PBC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是P、A、B、C共面时，PA为菱形ABPC的对角线，长度为3．所以无最值．练习3：若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱否有最值．解答：若P在底面的射影为O易知PO越小，侧棱越小．故P、O重合时，侧棱取最小极值
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，PO无穷大时，侧棱也无穷大．所以无最值．
例题4：在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得APD1P最短，求APD1P的最小值．解答：将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至AA1B，使三角形AA1B与四边形A1BCD1共面，联结AD1，则AD1的长即为APD1P的最小值，所以，
AD111211cos135
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2
2
练习4：已知单位正方体ABCDA1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BED1F（0值．解答：当小值为
1212
）．设EF与AB所成的角为，与BC所成的角为，求的最小
时，．

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．不难证明f是单调减函数．因此的最

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例题5：在正
棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围．解答：当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为．当顶点在无穷远处的时候，
2正
棱锥变为正
棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为．

练习5：已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1的各条棱长均为3，角BAD600，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，求MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积．解答：联结DP、DN，在三角形MDN为直角三角形，DPMN21，且又由已知角BAD600，角ADC1200，所以点P的轨迹以点D为球心，半径为1的16球面，所以其与顶点D以及三个面围成的几何体的体积为
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1
3
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．
立体几何（向量方法）
知识精要1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线（即成倍数关系）．证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零．2．通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角．从而可以利用公式
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