1、Jacobi迭代
在Jacobi迭代法中任一点上未知值的更新是用上一轮迭代中所获得的各邻点之值来计算的，即
Tk
akTl
1bkakkl1lk
k12L1×M1
这里带括号的上角标表示迭代轮数。所谓一轮是指把求解区域中每一节点之值都
更新一次的运算环节。显然，采用Jacobi迭代式，迭代前进的方向（又称扫描
方向）并不影响迭代收敛速度。这种迭代法收敛速度很慢，一般较少采用。但对
强烈的非线性问题，如果两个层次的迭代之间未知量的变化过大，容易引起非线
性问题迭代的发散。在规定每一层次计算的迭代轮次数的情况下，有利于Jacobi
迭代有利于非线性问题迭代的收敛。
2、GaussSeidel迭代
在这种迭代法中，每一种计算总是取邻点的最新值来进行。如果每一轮迭代
按T的下角标由小到大的方式进行，则可表示为：
1
L1M1
Tk
aklTl

aklTl
1bkakk
l1
lk1
lk
此时迭代计算进行的方向（即扫描方向）会影响到收敛速度，这是与边界条
件的影响传入到区域内部的快慢有关的。
3、例题：
一矩形薄板几何尺寸如图所示，薄板左侧的边界温度TL100K，右侧温度TR300K，上侧温度TT200K，下侧温度TB200K，其余各面绝热，求板上个节点的温度。要求节点数目可以变化，写出程序。
解析：
⑴列出描述问题的微分方程和定解条件。
t22x

t22y

0
；对于离散化的问题，其微分方程根据热平衡原理得到：
1
ft
t
t
t

x
i1
y
j


x
i1
y
j


y
i
x
j1


y
i
x
j1

0
定解条件边界条件
TL100K，TR300K，TT200K，TB200K。
⑵网格划分示意图：
如下图所示，将薄板划分成m
m
个网格，求m
个节点的温度分布。
⑶内部节点的离散化代数方程：
tttttttt
yyxy0i1j
ij
i1j
ij
ij1
ij
ij1
ij
x
x
y
x
即
tttt4t0
i1j
i1j
ij1
ij1
ij
边界节点的的离散化代数方程即各节点的温度等于对应边界的温度，不做赘
述。
⑷源程序：
①采用高斯赛德尔迭代的程序，如下：
mi
puth
i
putltzerosm

2
ft0zerosm
dteps001fori1m
ti1200ti
200e
dforj1
t1j100tmj300e
dfork11000fori2m1forj2
1
tijti1jti1jtij1tij14e
de
ddtmax0fori2m1forj2
1
dtmaxmaxabstijt0ijdtmaxe
de
ddtmaxkt0tco
tourt40pauseifdtmaxdtepsbreake
de
d
3
f②采用雅克比迭代的程序，如下：mi
puth
i
putltzerosm
t0zerosm
dteps001fori1m
ti1200ti
200e
dforj1
t1j100tmj300e
dt0tfork11000fori2m1forj2
1
tijt0i1jt0i1jt0ij1t0ij14e
de
r