ddtmax0fori2m1forj2
1
dtmaxmaxabstijt0ijdtmaxe
de
ddtmaxkt0t
4
fco
tourt40pauseifdtmaxdtepsbreake
de
d
⑸两种方法的收敛速度对比
下面是在相同的条件(m
20)下利用高斯赛德尔迭代和雅克比迭代的得到的最终结果:
高斯赛德尔迭代(只给出最后部分)……dtmax
00099k
250雅克比迭代……dtmax
00100k
444由此可以看出,高斯赛德尔迭代的收敛速度要比雅克比迭代的收敛速度快,因此高斯赛德尔迭代更加优越。
⑹不同节点数对收敛速度的影响
我们利用高斯赛德尔迭代法,在m
20和m
30两种不同的条件下计算节点的温度,结果如下:(只给出m
30的结果)
……dtmax
00099
5
fk509
由结果可见迭代后一种情况迭代次数是前一种情况的两倍。收敛速度明显比前者慢。画出等温线图如下:(m
20的情况下利用高斯赛德尔迭代的结果)
6
fm
30的情况下利用雅克比迭代的结果
计算小结
数值计算是传热学比较重要的研究方法之一。利用数值计算可以将复杂
的解微分方程的问题转化为解代数方程的问题,而解代数方程的问题相对比
较简单,完全可以在计算机上实现。
将微分方程转化为代数方程,我们利用网格划分的方法将所研究的物理
现象发生的区域离散化,将求所有点参数的问题,转化为求有限节点的问题,
这样就可以使问题简单化。
对于上述上述问题我们可以用行立式解代数方程,对于节点数目较少的
情况,这种方法比较方便,但节点数目较多时,行立式很难列出来,因此此
法就行不通了,迭代法就相对方便的多了。迭代法包括高斯赛德尔迭代和雅
ttttt克比迭代。前者在计算时,、、、的值全部为新值,
ij
i1j
i1j
ij1
ij1
7
ftttt即刚刚被迭代得到的值,而后者则利用的是、、、上一次
i1j
i1j
ij1
ij1
迭代得到的值。比较而言,同等条件下高斯赛德尔迭代的收敛速度更快,因
此,也根据有优越性,因此我们往往都用这种迭代法进行数值计算分析。
当节点的数目变化时,收敛的速度也随之而变,节点数目越多,收敛的
速度越慢,这是显而易见的。
总之,数值计算是传热学非常重要的研究方法,特别是在导热问题的讨
论中尤为适用。研究稳态导热问题,我们常利用高斯赛德尔迭代法和雅克比
迭代法解代数方程,高斯赛德尔迭代的收敛速度更快,比较常用。
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fr