解三角形
知识点梳理：
知回忆：si
ABsi
AcosBcosAsi
BcosABcosAcosBsi
Asi
B
si
2A2si
AcosA
在ABC中，ABC；si
ABsi
C；cosABcosC
ta
Ata
BCcosABsi
C；si
ABcosC
2
2
2
2
1、正弦定理：abc2R．（R为C的外接圆的半径）si
si
si
C
2、正弦定理边角互化：
①a2Rsi
，b2Rsi
，c2Rsi
C；
②si
a，si
b，si
Cc；
2R
2R
2R
③abcsi
si
si
C；④
abc
abc．
si
si
si
Csi
si
si
C
⑤在ABC中，absi
Asi
BAB
⑥若si
2Asi
2B则AB或AB2
题型一：利用正弦定理解三角形
①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角
例：在ABC中，已知A45，B60，a42cm求b
变式：1在△ABC中，已知a8，B600，C750，求b
2在△ABC中，A60°，a4，b4，则B
3已知A60b2a23求B
题型二：正弦定理角边互化的应用例：1。在锐角三角形中，若2asi
B＝3b，则角A
2已知△ABC中，bcosB＝ccosC，则△ABC的形状为
变式：△ABC中，若a2bcosC，si
2Asi
2Bsi
2C，试判断△ABC的形状。题型三：正弦定理比例的应用
例：已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则abc等于
变式已知ABC中，si
Asi
Bsi
C123，则abc
．
已知ABC中，A60，a3，则
abc

．
si
Asi
Bsi
C
题型四：解的个数问题
在ABC中，已知abA，讨论三角形解的情况：
①当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解；②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absi
A，则有两解；（2）若absi
A，则只有一解；（3）若absi
A，则无解．例：在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？
变式：在ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况．
在ABC中，若a1，c1，C40，则符合题意的b的值有_____个．2
3、余弦定理
a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC
余弦定理的推论：cosb2c2a2，cosa2c2b2，cosCa2b2c2．
2bc
2ac
2ab
题型五：利用余弦定理解三角形
（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角
例：在△ABC中，已知三边长a3，b4，c37，求三角形的最大内角．
变式：1边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是
2已知A60，b1，c2，则a
3已知a＝3，b＝13，B＝150°，则边c的长为
4在△ABC中，若acacbbc，则∠A
f5在△ABC中，已知c2，C，且1absi
C3，求a，b32
6r