解三角形专题
一、基础知识：
1、正弦定理：abc2R，其中R为ABC外接圆的半径si
Asi
Bsi
C
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）si
2Asi
2Bsi
Asi
Bsi
2Ca2b2abc2
（2）bcosCccosBasi
BcosCsi
CcosBsi
A（恒等式）
（3）
bca2

si
Bsi
Csi
2A
2、余弦定理：a2b2c22bccosA
变式：（1）cosAb2c2a22bc
①此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A是钝角还是锐角当b2c2a2时，cosA0，即A为锐角；
当b2c2a2（勾股定理）时，cosA0，即A为直角；
当b2c2a2时，cosA0，即A为钝角
②观察到分式为齐二次分式，所以已知abc的值或者abc均可求出cosA
（2）a2bc22bc1cosA此公式在已知bc和bc时不需要计算出bc的值，进
行整体代入即可
3、三角形面积公式：
（1）S1ah（a为三角形的底，h为对应的高）2
（2）S1absi
C1bcsi
A1acsi
B
2
2
2
（3）S1abcr（r为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
2
（4）海伦公式：Sppapbpcp1abc
2
（5）向量方法：S1
2
2
abab（其中ab为边ab所构成的向量，方向任意）
2
证明：S1absi
CS21a2b2si
2C1a2b21cos2C
2
4
4
S1ab2abcosC2，而ababcosC
2
1
fS1
2
2
abab
2
坐标表示：a
x1y1bx2y2，则S

12
x1y2

x2y1
4、三角形内角和ABC（两角可表示另一角）。
si
ABsi
Csi
C
cosABcosCcosC
5、确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
①已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角
②已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求
出剩余两角
③两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
①已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定
理可得：已知三个角只能求出三边的比例：abcsi
Asi
Bsi
C
②已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知abA，所确定的三角形有可能唯一，也有可能
是两个。其原因在于当使用正弦定理求B时，absi
Bbsi
A，而
si
Asi
B
a
B


0
2


2


时，一个
si

B
可能对应两个角（1
个锐角，1
个钝角），所以三角形可
能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1r