－2p2＋16＝5
又p0，解得p＝2或p＝8
考向二抛物线的几何性质
f【例2】2019安徽质量检测已知直线y＝kx＋2k0与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若FA＝2FB，则k＝
12A3B3
222C3D3【解析】设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，直线y＝kx＋2k0恒过定点P－20，如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，
由FA＝2FB，知AM＝2BN，∴点B为线段AP的中点，连接OB，则OB＝21AF，∴OB＝BF，∴点B的横坐标为1，∵k0，∴点B的坐标为122，
f2∴k＝
2－0＝2
1－－2
3
2故选
D
【答案】D
在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此
2019安徽滁州模拟已知抛物线C：y2＝2pxp0的焦点为F，准线l：x＝－54，点M在抛物线C上，点A在准线l上，若MA⊥l，直线AF的倾斜角为π3，则MF＝5
解析：设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为π3，所以∠FAM＝π3，又MA＝MF，所以MA＝MF＝FA＝2FB，又由已知p＝45×2＝25，即FB＝52，所以MF＝5
考向三直线与抛物线的位置关系
f方向1焦点弦问题【例3】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则AB＋DE的最小值为A．16B．14C．12D．10
【解析】由抛物线y2＝4x知F10，故可设直线l1的方程为y＝kx－1，直线l1的方程与y2＝4x联立并消去y，整理得k2x2－2k2＋4x＋k2＝0设Ax1，y1，Bx2，y2，则x1＋x2＝2＋k42，x1x2＝kk22＝1，∴AB＝x1＋x2＋2＝4＋k42，同理l2的方程为y＝－1kx－1，与y2＝4x联立可得DE＝4＋4k2∴AB＋DE＝8＋4k2＋k42＝8＋4k2＋k12≥8＋4×2＝16当k＝±1时取等号．故选A
【答案】A方向2直线与抛物线的位置关系【例4】2018全国卷Ⅰ设抛物线C：y2＝2x，点A20，B－20，过点A的直线l与C交于M，N两点．1当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；2证明：∠ABM＝∠ABN
【解】1当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得M的坐标为22
f或2，－2．所以直线BM的方程为y＝12x＋1或y＝－21x－1
2证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝kx－2k≠0，Mx1，y1，Nx2，y2，则x10，x20
y＝kx－2，
由
得ky2－2y－4k＝0，
y2＝2x
可知y1＋y2＝2k，y1y2＝－4
直线
BM，BN
的斜率之和为
kBM
＋
kBN
＝
y1x1＋2
＋
y2x2＋2
＝
x2y1r