＋x1y2＋2y1＋y2
①
x1＋2x2＋2
将x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2y1＋y2＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN综上，∠ABM＝∠ABN
f1直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系
2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p或AB＝y1＋y2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式
3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解
1．方向1过抛物线y2＝8x的焦点F作倾斜角为135°的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长为D
A．4
B．8
C．12
D．16
解析：抛物线y2＝8x的焦点F的坐标为20，直线AB的倾斜角为135°，故直线AB的方程为y＝－x＋2，代入抛物线方程y2＝8x，得x2－12x＋4＝
f0设Ax1，y1，Bx2，y2，则弦AB的长AB＝x1＋x2＋4＝12＋4＝16
2．方向22018全国卷Ⅰ设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点－
20且斜率为32的直线与
C
交于
M，N
→→两点，则FMFN＝
D

A．5B．6
C．7D．8
解析：解法1：过点－20且斜率为23的直线的方程为y＝23x＋2，由
y＝32x＋2，y2＝4x，
x＝1，x＝4，
得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以
或
不妨
y＝2
y＝4，
→
→
→→
设M12，N44，易知F10，所以FM＝02，FN＝34，所以FMFN＝
8故选D
解法
2
：
过
点

－
20
且
斜
率
为
23
的
直
线
的
方
程
为
y
＝
23
x
＋
2
，
由
y＝32x＋2，y2＝4x，
得x2－5x＋4＝0，设Mx1，y1，Nx2，y2，则y10，y20，
→根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4易知F10，所以FM＝x1－1，
f→
→→
y1，FN＝x2－1，y2，所以FMFN＝x1－1x2－1＋y1y2＝x1x2－x1＋x2＋1
＋4x1x2＝4－5＋1＋8＝8故选D
抛物线的拓展结论对抛物线y2＝2pxp0，设θ为过焦点的弦AB的倾斜角，则有：1y1y2＝－p2，x1x2＝p42；2AB＝x1＋x2＋p＝si2
p2θ≥2p；3A1F＋B1F为定值p2；4抛物线焦点三角形面积公式：S△OAB＝2spi
2θ；5以AB为直径的圆与准线相切；6以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
典例设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若AF＝3BF，则直线l的斜率为________．
【解析】设直线AB的倾斜角为θr