第五节椭圆
知识点一椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数大于F1F2的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
1．判断正误
1平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．×
2动点P到两定点A0，－2，B02的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．×
2．已知动点Px，y的坐标满足动点P的轨迹方程为1x52＋6y42＝1
x2＋y＋72＋x2＋y－72＝16，则
解析：由等式关系可知，点Px，y到两定点07以及0，－7的距离
f之和等于16，且距离之和大于两定点间的距离，由椭圆的定义可知，动点P的轨迹是以点07和点0，－7为焦点，长半轴长为8的椭圆，其方程为1x52＋6y42＝1
知识点二椭圆的标准方程和几何性质
f3．已知椭圆C：ax22＋by22＝1ab0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为A
Ax32＋y22＝1
Bx32＋y2＝1
C1x22＋y82＝1
D1x22＋y42＝1
解析：∵△AF1B的周长为43，∴4a＝43，∴a＝3，∵离心率为33，∴c＝1，∴b＝a2－c2＝2，∴椭圆C的方程为x32＋y22＝1故选A
f4．2018全国卷Ⅰ已知椭圆C：ax22＋y42＝1的一个焦点为20，则C的离心率为C
1
1
A3
B2
2C2
22D3
解析：不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为20，所以c＝2，所以
a2＝4＋4＝8，所以a＝2
2，所以椭圆
C
的离心率
e＝ac＝
22
5．2018浙江卷已知点P01，椭圆x42＋y2＝mm1上两点A，B满足
→→AP＝2PB，则当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．
→→解析：设Ax1，y1，Bx2，y2，由AP＝2PB，
－x1＝2x2，得
1－y1＝2y2－1，
即x1＝－2x2，y1＝3－2y2因为点A，B在椭圆上，
44x22＋3－2y22＝m，所以x422＋y22＝m，
f得y2＝14m＋43，所以x22＝m－3－2y22＝－14m2＋52m－94＝－14m－52＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2
1．椭圆方程中的a，b，c
1a，b，c关系：a2＝b2＋c2
2e与ba：因为e＝ac＝
a2－b2a＝
1－ba2，所以离心率e越大，则ba越
小，椭圆就越扁；离心率e越小，则ba越大，椭圆就越圆．
2．焦点三角形：椭圆上的点Px0，y0与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝PF1，r2＝PF2，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆ax22＋by22＝1ab0中：
1当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；2S＝b2ta
θ2＝cy0，当y0＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc
3．焦点弦过焦点的弦：焦点r