第二节平面向量基本定理及坐标表示
知识点一平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示
1在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对x，y叫做向量a的坐标，记作a＝x，y，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
→
→
→
2设OA＝xi＋yj，则向量OA的坐标x，y就是A点的坐标，即若OA＝
x，y，则A点坐标为x，y，反之亦成立．O是坐标原点
f1．判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”
1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．×
2若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2√
3平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．√
→
→
→→
2．已知OA＝1，OB＝3，OA⊥OB，点C在线段AB上，
∠AOC＝30°设O→C＝mO→A＋
O→Bm，
∈R，则m
等于B
1A3
B．3
3C3
D3
→
→
→→
解析：如图，由已知OA＝1，OB＝3，OA⊥OB，可得AB＝2，∠A
＝60°，因为点C在线段AB上，∠AOC＝30°，所以OC⊥AB，过点C作CD垂直于OA，垂足为D，则OD＝43，CD＝43，所以O→D＝43O→A，D→C＝41O→B，即O→C＝43O→A＋14O→B，所以m
＝3
f→
→
→→
→
3．在ABCD中，AB＝a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN
＝－41a＋14b用a，b表示．
→→解析：因为AN＝3NC，
所以A→N＝43A→C＝43a＋b，
又因为A→M＝a＋21b，
所以M→N＝43a＋b－a＋21b
＝－14a＋14b
知识点二平面向量的坐标运算
1．若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a±b＝x1±x2，y1±y2；
→2．若Ax1，y1，Bx2，y2，则AB＝x2－x1，y2－y1；
f3．若a＝x，y，则λa＝λx，λy；4．若a＝x1，y1，b＝x2，y2，则a∥bx1y2＝x2y1
→
→
4．已知点A01，B32，向量AC＝－4，－3，则向量BC＝A
A．－7，－4
B．74
C．－14
D．14
→解析：根据题意得AB＝31，
→→→∴BC＝AC－AB＝－4，－3－31
＝－7，－4．故选A5．已知向量a＝12，b＝2，－2，c＝1，λ．若c∥2a＋b，则λ＝12解析：2a＋b＝42，因为c＝1，λ，
且c∥2a＋b，所以1×2＝4λ，即λ＝21
f1．在同一基底下，向量a与数对λ1，λ2间建立一一r