与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点
15一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A且OAa折叠纸片，使圆周上某一点
A刚好与A点重合这样的每一种折法，都留下一条直线折痕当A取遍圆周上所有的点
时，求所有折痕所在直线上点的集合
2
f2003年全国高中数学联赛加试试题
第二试（本题满分一、本题满分50分）（过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为AB所作割线交圆于CD两点，C在PD之间在弦CD上取一点Q使∠DAQ∠PBC求证：∠DBQ∠PAC
（本题满分二、本题满分50分）（设三角形的三边长分别是整数lm
且lm
已知
3l3m3
44其中4101010
xxx而x表示不超过x的最大整数
求这种三角形周长的最小值
（本题满分三、本题满分50分）（由
个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间四边形，其中

q2q1l≥
12qq11q≥2q∈N已知此图中任四点不共面，每点至少有一条2
连线段，存在一点至少有q2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点ABCD和四条连线段ABBCCDDA组成的图形）
3
f2003年全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题1C提示：1注意到452025462116故a20032003452048
22
2B
3A
4C
5D
6B
2题设方程可化为yaxb和3易知直线AB的方程为y
x2y21观察图形可知；ab
3x因此AB两点的横坐标满足方程3x28x160从
而弦AB中点的横坐标为x0
44纵坐标y0进而求得中垂线方程之后，令y0，33
得点P的横坐标即PF4原函数可化为y
16；32
πcosx可以证明函数在已知的区间上为增函4π6si
2x3
1136
354379x22x
用基本不等式可求得函数u的最小值
数，故当x
π
3
时，y取最大值
5消去y之后可得：u1
125
6可用等积法求得，过程略。二、填空题73

51512∪23提示：原不等式可以化为x3xx102


84
PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为S
11PF1PF2×2×4422
94≤a≤1提示：A13令fx21xagxx22a7x5则只需fxgx在
4
ff1≤0f3≤0（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是由此推出4≤a≤1g1≤0g3≤0
10．93
bd提示：由已知得abcdac又ac9，故ac
4
32
54
2
4
bd2bbd2acaac
2
bd229a25c16d2acr