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2003年全国高中数学联赛试题
2003．10．12
第一试
一、选择题（每小题6分满分36分）1．删去正整数数列123……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是A2046B2047C2048D2049222．设ab∈Rab≠0，那么，直线axyb0和曲线bxayab的图形是
yyOOxxOxOxyy
ABCD3．过抛物线y28x2的焦点F作倾斜角为60°的直线．若此直线与抛物线交于AB两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A
163
B
4．若x∈
5ππ2πππ，则yta
xta
xcosx的最大值是12336612111112BCDA22335665945．已知xy都在区间22内，且xy＝1，则函数u的最小值是29y24x8122412ABCD51175
83
C
1633
D83
6．在四面体ABCD中，设AB1，CD3，直线AB与CD的距离为2，夹角为
π
3
，则四面
体ABCD的体积等于
A
32
B
12
C
13
D
33
二、填空题每小题9分满分54分7．不等式x32x24x3＜0的解集是__________x2y28．设F1F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1PF221，则△PF1F2的94面积等于__________
9．已知Axx24x3＜0x∈RBx21xa≤0x22a7x5≤0x∈R．AB则实数a的若取值范围是____________
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35logcd，若ac9则bd________2411．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________
10．
已知abcd均为正整数，且logab
12．
设M
十进制
位纯小数0a1a2…a
ai只取0或1i12…
1，a
1，T
是M
中S元素的个数，S
是M
中所有元素的和，则lim
_______
→∞T

三、解答题每小题20分，满分60分
1已知
3≤x≤5证2x12x3153x2192
2设A、B、C分别是复数z0aiz1
1biz21ciabc∈R对应的不共线三点。2证：曲线zz0cos4t2z1cos2tsi
2tz2si
4tt∈R与ABC中平行于AC的中位线只
有一个公共点，并求出此点。
3一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OAa，折叠纸片，使圆周上某一点A′刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。
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第二试
1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦r