2003年全国高中数学联赛
冯惠愚
2003年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试10月12日上午800940一、选择题每小题6分，共36分1．2003年全国高中数学联赛删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是A2046B2047C2048D20492．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－yb0和曲线bx2ay2ab的图形是
yyyy
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
3．过抛物线y28x2的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于16816ABC3D83333524．若x∈－，－，则yta
x－ta
xcosx的最大值是12336612111112A2B2C3D35665495．已知x，y都在区间－2，2内，且xy－1，则函数u的最小值是4－x29－y28241212ABCD511756．在四面体ABCD中，设AB1，CD3，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD3的体积等于3113ABCD2233二．填空题每小题9分，共54分7．不等式x3－2x2－4x30的解集是．x2y28．设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1∶PF22∶1，则△PF1F2的面积94等于．9．已知Axx2－4x30，x∈R，－Bx21xa0，x2－2a7x50，x∈R若AB，则实数a的取值范围是．3510．已知a，b，c，d均为正整数，且logab，logcd，若a－c9，则b－d．2411．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．－12．设M十进制
位纯小数0aa…aa只取0或1i1，2，…，
－1，a1，T是M中S
元素的个数，S
是M
中所有元素的和，则lim
→∞T
三、（本题满分20分）313．设x5，证明不等式22x12x－315－3x219．
1
12
i



．
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四、本题满分20分114．设A、B、C分别是复数Z0ai，Z1bi，Z21ci其中a，b，c都是实数对应的不共线的三点．证2明：曲线ZZ0cos4t2Z1cos2tsi
2tZ2si
4tt∈R与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．
五、本题满分20分15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OAa，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．
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加试题10月12日上午10001200一、（本题50分）r