2003年全国高中数学联赛试题
第一试一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是、、、正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是【答】（）（A）2046B2047C2048D20492设ab∈Rab≠0那么直线axyb0和曲线bxayab的图形是【答】（
22
）
y
y
y
y
x
x
x
x
ABCD2°3过抛物线y8x2的焦点F作倾斜角为60的直线若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于（A）【答】（D83）
163
B
83
C
1633
4若x∈（A）
2π5ππ则yta
x3123
B
ππta
xcosx的最大值是66
C
1225
1126
127
D
12【答】（5
）
5已知xy在区间22内，且xy1则函数u（A）
49的最小值是24x9y2
D
85
B
2411
C
127
12【答】（5
）
6在四面体ABCD中设AB1CD面体ABCD的体积等于（A）
3，直线AB与CD的距离为2，夹角为
π
3
，则四）
【答】（B
32
3
12
C
13
D
33
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。填空题7．不等式x2x4x30的解集是______________
2
x2y28．设F1F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1PF221，则94
1
fPF1F2的面积等于_____________
9已知
Axx24x30x∈R


Bx21xa≤0x22a7x5≤0x∈R若AB，则实数a的取值范围是
_____________10已知abcd均为正整数，且logab


bd____________11将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________
12．设M
十进制
位纯小数0a1a2a
ai只取0或1i12
1a
1（
35logcd若ac9，则24


_____________

T
是M
中元素的个数，S
是M
中所有元素的和，则lim
→∞
S
________T

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设
3≤x≤5证明不等式2
2x12x3153x219
14．设ABC分别是复数Z0aiZ1
4
1biZ21ci（其中abc都是实数）对应的不2
224
共线的三点证明：曲线ZZ0cost2Z1costsi
tZ2si
tt∈Rr