称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。解：分法是和谐的充分必要条件是最多一堆石子的个数不超过k。下面设五堆石子的个数分别为abcde（其中abcde）。“必要性”的证明：若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a次，这a次每次都要取走3个石子。如果ak，则3a3k，即把a所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。“充分性”的证明：（数学归纳法）（1）当k1时，满足“ak”的分法只能是1，1，1，0，0。显然这样的分法是和谐的。（2）假设k
时，满足“ak”的分法是和谐的。（3）当k
1时，若a
1，且分法abcde是不和谐的，则分法a－1b－1c
f－1de也是不和谐的。由（2）及必要性的证明，可知
maxa1b1c1de
。
因为abcde，所以maxa1b1c1demaxa1d
。若a1d，则有a1
。这与a
1矛盾。若a1d，则有
dcba
1，从而有abcd
1，于是有
3
1abcde4
1e，这是不可能的。矛盾。
因此当a
1时，分法abcde是和谐的。
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