B=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
f1求证:FH∥平面EDB;2求证:AC⊥平面EDB;3求四面体B-DEF的体积.解析1证明:设AC与BD交于点G,联结EG、GH则G为AC中点,∵H是BC中点,
11∴GH2AB,又∵EF2AB,∴四边形EFHG为平行四边形.∴FH∥EG又EG平面EDB,而FH平面EDB,∴FH∥平面EDB2证明:∵EF∥AB,EF⊥FB∴AB⊥FB又四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC,又FB∩BC=B,∴AB⊥平面BFC∵FH平面BFC,∴AB⊥FH又∵FB=FC,H是BC中点,∴FH⊥BC
f又AB∩BC=B,∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC又EG∥FH,∴EG⊥AC,又AC⊥BD,BD∩EG=G,∴AC⊥平面EDB3∵EF⊥BF,BF⊥FC且EF∩FC=F,
∴BF⊥平面CDEF,即BF⊥平面DEF∴BF为四面体BDEF的高.又∵BC=AB=2,∴BF=FC=2四边形CDEF为直角梯形,且EF=1,CD=2112∴S△DEF=21+2×2-2×2×2=2121∴VBDEF=3×2×2=3能力拓展提升11
2013盐城模拟如图,P为ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l
f1判断BC与l的位置关系,并证明你的结论;2判断MN与平面PAD的位置关系,并证明你的结论.解析1结论:BC∥l,因为AD∥BC,BC平面PAD,AD平面PAD,所以BC∥平面PAD又因为BC平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l2结论:MN∥平面PAD
设Q为CD的中点,如右图所示,连接NQ,MQ,则NQ∥PD,MQ∥AD又因为NQ∩MQ=Q,所以平面MNQ∥平面PAD又因为MN平面MNQ,所以MN∥平面PAD点评本题1将线面平行的判定定理和性质定理交替使用,实现了线线平行的证明;本题2巧妙地将线面平行的证明转化为面面平行,进而由面面平行的性质,得出结论的证明.12.文
f2013北京丰台期末如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,点M,N分别为A1C1与A1B的中点.1求证:MN∥平面BCC1B1;2求证:平面A1BC⊥平面A1ABB1证明1连接BC1,∵点M,N分别为A1C1与A1B的中点,∴MN∥BC1∵MN平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B12∵AA1⊥平面ABC,BC平面ABC,∴AA1⊥BC又∵AB⊥BC,AA1∩AB=A,∴BC⊥平面A1ABB1∵BC平面A1BC,∴平面A1BC⊥平面A1ABB1理2013北京四中期中如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=a
f1求证:AD⊥B1D;2求证:A1C∥平面AB1D;3求三棱锥C-AB1D的体积.解析1证明:∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,∵AD平面ABC∴AD⊥BB1又∵△ABC是正三角形,D是BC的中点,∴AD⊥BC又∵BC∩BB1=B,∴AD⊥平面B1BCC1r