，y2xexex，y3xee系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程解设y1xexe2x，y2xexex，y3xee
x2x
ex是某二阶常
ex是二阶常系数线性非齐
次微分方程
y′′by′cyfx
的三个解，则y2y1exe2x和y3y1e
x
都是二阶常系数线性齐次微分方程
y′′by′cy0
的解，因此y′′by′cy0的特征多项式是λ2λ10，而y′′by′cy0的特征多项式是
λ2bλc0
′′因此二阶常系数线性齐次微分方程为y′′y′2y0，由y1′y12y1fx和
′′y1exxex2e2x，y1′2exxex4e2x
′′知，fxy1′y12y1xex2ex4e2xxexex2e2x2xexe2x
12xex
f二阶常系数线性非齐次微分方程为
y′′y′2yex2xex
六、（10分）设抛物线yaxbx2l
c过原点当0≤x≤1时y≥0又已知该抛
2
物线与x轴及直线x1所围图形的面积为的旋转体的体积最小
1试确定abc使此图形绕x轴旋转一周而成3
解因抛物线yaxbx2l
c过原点，故c1，于是
2
1bab1a∫ax2bxdtx3x23020323
1
即
21a3而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积bVaπ∫ax2bx2dtπ∫ax2
0011
21ax2dt3
πa2∫x4dtπ
1144a1a∫x3dtπ1a2∫x2dt00039114πa2πa1aπ1a253271
即
114Vaπa2πa1aπ1a25327
令
V′a
得
218πaπ12aπ1a0，5327
54a4590a4040a0
即
4a50
因此
53abc142
七、（15分）已知u
x满足u′xu
xx
数项级数解
1x
e
12L且u
1
e求函

∑u
1
∞


x之和
fu′xu
xx
1ex，
即
y′yx
1ex
由一阶线性非齐次微分方程公式知
yexC∫x
1dx
即
x
yeC
x
因此
x
1e由u
1eC知，C0，
u
xexC
于是
u
x
令
x
ex

下面求级数的和：
∞∞
Sx∑u
x∑
1
1
x
ex

则
S′x∑x
1ex
1
∞
∞x
exexSx∑x
1exSx
1x
1
即
S′xSx
ex1x1dx1x
由一阶线性非齐次微分方程公式知
SxexC∫
令x0，得0S0C，因此级数
∑u
1
2
∞


x的和
Sxexl
1x
八、（10分）求x→1时与解
t2

∑x
0
∞
等价r