首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类）
考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分
一、计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）

1
1求极限lim1
k1
kk
si


2

2计算axdydzza2dxdy，其中为下半球面za2y2x2的上侧，a0

x2y2z2
3现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何
值时所需费用最少？
4
已知
f
x
在
14

12

内满足
f
x

si
3
x
1cos3
x
，求
f
x

f二、（10分）求下列极限
1
lim




1

1



e

；
1
1
1


2
lim


a


b
3

c



其中a0b0c0
三、（10分）设fx在x1点附近有定义，且在x1点可导，f10f12求
fsi
2xcosx
lim
x0
x2xta
x

四、（10分）设fx在0上连续，无穷积分

fxdx收敛求
lim1
y
xfxdx
0
yy0
f五、五、（12
分）设函数
f
x在01上连续，在01
内可微，且
f
0

f
1
0
f
12
1

证明：1
存在



12
1
使得
f
；2
存在0使得
f
f1
六、（14分）设
1为整数，
Fx
x0
et
1

t1

t22



t

dt

证明
Fx
方程


2
在

2




内至少有一个根
f七、（12分）是否存在1中的可微函数fx使得ffx1x2x4x3x5？若存
在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明
八、12分设fx在0上一致连续，且对于固定的x0，当自然数
时fx
0证明函数序列fx
12在01上一致收敛于0
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