历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
f高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是
好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相
关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算
D
x

yl
11x
y
yx
dxdy

____________，其中
区域D由直线xy1与两坐标轴所围成三角形区
域
解令xyuxv，则xvyuv，
，dxdy

det
01
11dudvdudv
D
x
yl
11xy
yxdxdy

D
u
l

uul
1u
vdudv

1

u
l

u
u
dv
u
u
l
vdvdu
01u0
1u0
1u2l
uuul
uudu
01u
1u
（）
1

u2
du
01u
令，则t1u
u1t2
，，，du2tdtu212t2t4u1ut21t1t
f2012t2t4dt1
2
10
12t2
t4dt

2t

23
t
3

15
t
5
10
1615
2．设
f
x
是连续函数，且满足
f
x

3x2

2
0
f
xdx

2

则
fx____________
解令，则，2
A0fxdx
fx3x2A2
A23x2A2dx82A242A0
解得A4。因此fx3x210。
3
3
3．曲面zx2y22平行平面2x2yz0的切平面方2
程是__________
解因平面2x2yz0的法向量为221，
而曲面
z

x22

y2

2
在
x0
y0
处的法向量
为，故zxx0y0zyx0y01
zxx0y0zyx0y01
与221平行，因此，由zxx，zy2y知
，2zxx0y0x02zyx0y02y0
即，又，于是曲x02y01
zx0y0z215
面在处的切平面2x2yz0x0y0zx0y0
方程是2x22y1z50，即曲面
zx2y22平行平面2
2x2yz0的切平面方程是
f。2x2yz10
4．设函数yyx由方程xefyeyl
29确定，其中f具
有二阶导数，且
f


1
，则
d2ydx2

________________
解方程xefyeyl
29的两边对x求导，得
efyxfyyefyeyyl
29
因，故，即，因此eyl
29xefy
1fyyy
y
1
x
x1fy
d2ydx2

y


1x21f
y

fyyx1fy2

fyx21fy3

x2
11f
y

fy1fy2x21fy3
二、（5
分）求极限limex

e2x

e
x
e
x
，其中

是给定
x0


的正整数
解因
故
exlim
e2x



e
x

ex
lim1
ex
e2x
e
x




ex
x0


x0


Alimexe2xe
x
e
x0


x
elimexe2xe
x

x0

x
elimex2e2x
e
xe12
1e
x0



2
因此
limex
e2x



e

x

ex
eA

1e
e2
x0


三、（15
分）设函数
f
x
连续，
gx

1
0
f
xtdt
，且
flimfxA，A为常数，求gx并讨论gx在x0处的
x0x
r