首届全国大学生数学竞赛决赛试卷（非数学类，2010）非数学类，2010）
考试形式：闭卷考试时间：150分钟满分：100分
一、
计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）
1求极限lim

→∞
∑1
si

k1

1
k
kπ
2

2计算
∫∫
∑
axdydzza2dxdyxyz
222
，其中∑为下半球面za2y2x2的上侧，a0
3现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器已知上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？
111f′x3si
xcos3x，求fx4已知fx在42内满足
二、（10分）求下列极限
111
abc
2lim
→∞3
1
1lim
1e；
→∞

其中a0b0c0


三、（10分）设fx在x1点附近有定义，且在x1点可导，f10f′12求
lim
x→0
fsi
2xcosxx2xta
x
四、（10分）设fx在0∞上连续，无穷积分
∫
∞
0
fxdx收敛求lim
1yxfxdxy→∞y∫0
1f0f10f12证五、分）（12设函数fx在01上连续，01内可微，在且
ξ∈1
明：1存在
12使得fξξ；2存在η∈0ξ使得f′ηfηη1
六、（14分）设
1为整数，
ftt2t
Fx∫e1dt0
12
xt
Fx
证明方程


2在2内至少有一个根
2435
11七、（12分）是否存在R中的可微函数fx使得ffx1xxxx？若存
在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明八、12分设fx在0∞上一致连续，且对于固定的x∈0∞，当自然数
→∞时
fx
→0证明函数序列fx
12在01上一致收敛于0
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