1eex→0
2
e
1e2
lim
x→0
exe2xLe
xxeAe
e
解法2因
exe2xLe
xxl
exe2xLe
xl
liml
elimx→0x→0
xelim
故
ex2e2xL
e
x12L
1eex2x
xx→0eeLe
2
e
1e2
lim
x→0
exe2xLe
xxeAe

f三、（15分）设函数fx连续，gx
∫
10
fxtdt，且lim
x→0
fxA，A为常数，求x
g′x并讨论g′x在x0处的连续性
解由lim
x→0
fxfxA和函数fx连续知，f0limfxlimxlim0x→0x→0x→0xx
10
因gx
∫
fxtdt，故g0∫f0dtf00，
0
1
因此，当x≠0时，gx
1xfudu，故x∫0
∫limgxlim
x→0x→0
x0
fudux
lim
x→0
fxf001
当x≠0时，
fx，xx1x∫0ftdt∫0ftdtlimfxAgxg0g′0limlimxlimx→0x→0x→0x→02xxxx221xfxfx1xAAlimg′xlim2∫fudulimlim2∫fuduA0x→0x→0x→0x→0xx0xx22这表明g′x在x0处连续g′x
1x2
∫
x
0
fudu
四、（15分）已知平面区域Dxy0≤x≤π0≤y≤π，L为D的正向边界，试证：（1）xe
L
∫
L
si
y
dyyesi
xdx∫xesi
ydyyesi
xdx；
L
（2）xe
∫
si
y
5dyyesi
ydx≥π22
证因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）xe
L
∫
si
y
dyyesi
xdx∫∫xesi
yyesi
xdxdyxyD
∫∫esi
yesi
xdxdy
D
∫xe
L
si
y
dyye
si
x
dx
∫∫xesi
yyesi
xdxdyxyD
∫∫esi
yesi
xdxdy
D
而D关于x和y是对称的，即知
f∫∫e
D
si
y
esi
xdxdy∫∫esi
yesi
xdxdy
D
因此
∫xe
L
si
y
dyyesi
xdx∫xesi
ydyyesi
xdx
L
（2）因
etet21
故
t2t4L≥21t224
1cos2x5cos2x22
esi
xesi
x≥2si
2x2
由
∫xe
L
si
y
dyyesi
ydx∫∫esi
yesi
xdxdy∫∫esi
yesi
xdxdy
DD
知
∫xe
L
si
y
dyyesi
ydx
11si
ysi
xsi
ysi
x∫∫eedxdy2∫∫eedxdy2DD

11si
ysi
ysi
xsi
xsi
xsi
x∫∫eedxdy2∫∫eedxdy∫∫eedxdy2DDD
ππ
00
π∫esi
xesi
xdx≥π∫
即
5cos2x5dxπ222
∫xe
Lx
si
y
5dyyesi
ydx≥π22
x2x
五、（10分）已知y1xee2xr