首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）
一、填空题（每小题5分，共20分）
yxyl
1xdxdy____________，其中区域D由直线xy1与两1．计算∫∫D1xy
坐标轴所围成三角形区域解令xyuxv，则xvyuv，dxdydet1
0
1dudvdudv，1
yxyl
1ul
uul
vx∫∫D1xydxdy∫∫D1ududv
uul
uuudvl
vdvdu01u∫01u∫021ul
uuul
uu∫du01u1u
∫
1
∫
2
1
0
u2du1u
（）
224
令t1u，则u1t，du2tdt，u12tt，u1ut21t1t，
2∫12t2t4dt
1
0
2∫
10
116212ttdt2tt3t550153
24
1
2．fx是连续函数，设且满足fx3x2解令A
2
∫
20
fxdx2则fx____________
∫
20
fxdx，则fx3x2A2，
A∫3x2A2dx82A242A
0
解得A
4102。因此fx3x。33x2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________2
3．曲面z
x2解因平面2x2yz0的法向量为221，而曲面zy22在2x0y0处的法向量为zxx0y0zyx0y01，故zxx0y0zyx0y01与
221平行，因此，由zxx，zy2y知2zxx0y0x02zyx0y02y0，
又于是曲面2x2yz0在x0y0zx0y0即x02y01，zx0y0z215，
f处的切平面方程是2x22y1z50，即曲面z
x2y22平行平面2
2x2yz0的切平面方程是2x2yz10。
4．设函数yyx由方程xe则
fy
eyl
29确定，其中f具有二阶导数，且f′≠1，
d2y________________dx2
解方程xe
fy
eyl
29的两边对x求导，得
11f′yy′y′，即y′，因此xx1f′y
efyxf′yy′efyeyy′l
29
因el
29xe
yfy
，故
d2y1f′′yy′y′′22dxx1f′yx1f′y2f′′y1f′′y1f′y22x21f′y3x1f′yx21f′y3
e
exe2xLe
xx不会：二、分）求极限lim（5，其中
是给定的正整数x→0
解法1因
lim
x→0
exe2xLe
xxexe2xLe
x
xlim1x→0

ee
故
exe2xLe
x
ex→0
xx2x
xeeLe
elimx→0
xAlimelim
因此
ex2e2xL
e
x12Lr