设f
＝1＋＋＋…＋
∈N．23
求证：f1＋f2＋…＋f
－1＝
f
－1
≥2，
∈N．自主解答1当
＝2时，左边＝f1＝1，11＋－1＝1，右边＝22
f《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案复习技法
左边＝右边，等式成立．2假设
＝kk≥2，k∈N时，结论成立，即f1＋f2＋…＋fk－1＝kfk－1，那么，当
＝k＋1时，f1＋f2＋…＋fk－1＋fk＝kfk－1＋fk＝k＋1fk－k1＝k＋1fk＋1－－kk＋1＝k＋1fk＋1－k＋1＝k＋1fk＋1－1，∴当
＝k＋1时结论仍然成立．由12可知：f1＋f2＋…＋f
－1＝
f
－1
≥2，
∈N．由题悟法用数学归纳法证明等式的规则1数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则失去了递推依据．2证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多少项，并注意初始值
0是多少，同时第二步由
＝k到
＝k＋1时要充分利用假设，不利用
＝k时的假设去证明，就不是数学归纳法．以题试法1．用数学归纳法证明：对任意的
∈N，111
＋＋…＋＝1×33×52
－12
＋12
＋1
1111证明：1当
＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成1×332×1＋13立．2假设当
＝kk∈N且k≥1时等式成立，即有111k＋＋…＋＝，1×33×52k－12k＋12k＋1则当
＝k＋1时，
f《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案复习技法
1111＋＋…＋＋1×33×52k－12k＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋11＋＝2k＋12k＋12k＋32k＋12k＋3kk＋1k＋1＝＝，2k＋12k＋32k＋32k＋1＋12k2＋3k＋1
＝
所以当
＝k＋1时，等式也成立．由12可知，对一切
∈N等式都成立．
用数学归纳法证明不等式
典题导入例2等比数列a
的前
项和为S
，已知对任意的
∈N，点
，S
均在函数y＝bx＋rb＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．1求r的值；2当b＝2时，记b
＝2log2a
＋1
∈N，证明：对任意的
∈N，不等式b1＋1b2＋1b
＋1…＞
＋1成立．b1b2b
自主解答1由题意，S
＝b
＋r，当
≥2时，S
－1＝b
－1＋r所以a
＝S
－S
－1＝b
－1b－1．由于b＞0且b≠1，所以
≥2时，a
是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝bb－1，bb－1a2∴＝b，即＝b，解得r＝－1a1b＋r2证明：由1知a
＝2
－1，因此b
＝2
∈N，2＋14＋12
＋1所证不等式为…＞242
＋1
f《三维设计》2014r