2
，cosa

a


cosb

且级数


b

1
收敛．
〔1〕证明
lim

a



0；
〔2〕证明级数a
收敛．b
1

20．〔此题总分为11分〕
设
A


10
21
31
41

，E
为三阶单位矩阵．
1203
〔1〕求方程组AX0的一个根底解系；
〔2〕求满足ABE的所有矩阵B．
1440
fword
21．〔此题总分为11分〕
1
证明
阶矩阵1
11

101与0

00
12相似．
1
1

1


00

22．〔此题总分为11分〕
设随机变量X的分布为PX1PX21，在给定Xi的条件下，随机变量Y服从均匀分布U0ii12．
2
〔1〕求Y的分布函数；
〔2〕求期望EY
23．〔此题总分为11分〕
设总体
X
的分布函数为Fx
1

e

x2

x

0，其中
为未知的大于零的参数，X1X2X
是来自总体的简单
0x0
随机样本，
〔1〕求EXEX2；
〔2〕求的极大似然估计量．
1540
fword
〔3〕是否存在常数a，使得对任意的

0
，都有
l
i
mP





a




0
？



2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷
一、选择题〔18题，每题4分〕
lim
x0
x

arcta
xk
x

c
，其中
k，c
为常数，且c

0
，如此〔
〕
Ak2c1Bk2c1
2
2
k3c1Dk3c1
3
3
x2cosxyyzx0在点011处的切平面方程为〔〕
Axyz2Bxyz0
Cx2yz3Dxyz0
fx
x12
，b

2
10
fxsi
xdx
12

，令
S

x


1b

si


x
，如此
S

94


〔
〕
A3B1C1D34444
L1x2y21，L2x2y22，L3x22y22，L42x2y22为四条逆时针方向的平面曲线，记
Ii

iy
y36
dx

2x

x33
dyi

1234
，如此
maxI1
I2
I3
I4

AI1BI2CI3DI4
5设ABC均为
阶矩阵，假如ABC，且B可逆，如此〔〕
B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
1640
fword
1a1200

a
b
a

与

0
b
0

相似的充分必要条件为〔
〕
1a1000
Aa0b2Ba0b为任意常数
Ca2b0Da2b为任意常数
X1X2X3是随机变量，且X1N01，X2N022，X3N532，PiP2Xi2i123，如
此〔〕
AP1P2P3BP2P1P3
CP3P2P2DP1P3P2
Xt
YF1
，给定a0a05，常数c满足PXca，如此PYc2
AaB1aC2aD12a
二、填空题〔914小题，每一小题4分〕
yfx由方程yxex1y确定，如此lim
f11＝。

0


y1e3xxe2x，y2exxe2x，y3xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，如此该方程的通解y。
x
r