222双曲线的简单几何性质
【例1】双曲线x2y21的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离54
心率是______，渐近线方程是______【例2】求与双曲线x2y21共渐近线且过A（23，3）点的双曲线方程及离心率
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13
f参考
例1：【分析】利用双曲线的简单几何性质进行填空
【解】254F1（3，0），F2（3，0）35y±25x
5
5
【点拨】分清楚双曲线的焦点所在的轴，以免写错焦点坐标和渐近线方程
例2：【分析】可以通过求出参数abc来确定双曲线方程，但过程繁琐，计算复杂，寻求一种更简单的方法求解
【解】解法一：双曲线x2y21的渐近线方程为：y±3x
169
4
（1）设所求双曲线方程为
xa
22
y2b2
1
∵b3∴b3a
①
a4
4
∵A233在双曲线上
∴12a2
9b2
1
②
由①②，得方程组无解
（2）设双曲线方程为x2y21a2b2
∵b3∴b3a
③
a4
4
∵A233在双曲线上
∴9121
④
a2b2
由③④得a29b244
∴所求双曲线方程为
23
fx2y21且离心率e5
94
3
4
解法二：设与双曲线x2y21共渐近线的双曲线方程为169
x2y2λ≠0169
∵点A（23，3）在双曲线上
∴λ12911694
∴所求双曲线方程为
x2y211694
即x2y21944
【点拨】（1）很显然，解法二优于解法一
（2）不难证明与双曲线x2y21共渐近线的双曲线方程为x2y2λ≠0
169
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一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程
x2a2
y2b2
λ≠0求双曲线方程较为方便通常是根据题设中的另一条件确定参数λ
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