b的一个特解。显然
A
12
2
b，所以
12
2
是AXb的一个特解，故选B。
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f12A可逆。设是A相应于23122412133的特征向量，则A2，那么AA，于是A。所以是333344121矩阵A的一个特征值。3
5．B。解：由A非奇异知A0，而A2A20，则6．解：A．a1a2a
是与自己正交的向量，a1a2a
0，B。设即
T222
故必有O，故A正确。
2B．错误，设Q为正交矩阵，则知QTQE，即QTQQTQQ1，所以Q1，
则B错误。C．正确，
阶实对称矩阵的特征值一定是实数（见定理57）D．正确，AEAEOA2EOA2EA0，故A一定可逆。
二、填空题
7．解：由A
1知A可逆，故2
2A15A
11158A5AA1A12A123A116。222A
1111111112012，根据题意右边最后一8．解：1230113t02t100t5
T1T2T3
个矩阵的列秩为2，即矩阵的秩为2，故t5。9．因为
5，rA3，所以AxO的基础解系中向量的个数为
r2。
51351310．解：由于二次型矩阵为153，对二次型矩阵做如下行变换153～33c33c3153151021，又二次型fx1x2x3的秩为2，所以c30，则02012c900c3
c3。
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f11．解：由A
3121，又AAAAAE，知，则A4342
1112211010510A1A1A104343231010510

12．解：因为3阶方阵A及AE，2AE都不可逆，则有
AAE2AE0
于是
0EAAA0，
EA13AE0，
111EAA2E3E2A0。2221因此矩阵的特征值为0，1，，所以矩阵的特征多项式为：2111EA132。222
三、计算r