圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并
且F1PF1Q．证明：当a变化时，点P在某定直线上．
解：（1）因为焦距为1，所以2a211，解得a25．故椭圆E的方程为8x28y21．
4
8
53
（2）设Px0y0，F1c0，F2c0，其中c
2a2
1
．由题设知
x0

c
，则直线
F1P
的斜率kF1P

y0x0
c
，
直线F2P的斜率kF2P

y0x0c
，故直线F2P的方程为
y

y0xc．当x0时，x0c
y

cy0cx0
，
即点
Q
坐标为
0
c
cy0x0

．因此，直线
F1Q
的斜率为
kF1Q

y0cx0
．
由于F1PF1Q，所以kF1P
kF1Q

y0y0x0ccx0
1．化简得
y02

x02
2a2
1．①
将①代入E方程，由于点Px0，y0在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上．
（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为225，AB
和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60．
（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；
（2）求cosCOD．
解：（1）设面PAB与面PCD的交线为l．ABCD，AB不在面PCD内，所以AB面PCD．
又因为AB面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以ABl．
由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行．
（2）设CD的中点为F．连接OF，PF．由圆的性质，COD2COF，OFCD．
因为OP底面，CD底面，所以OPCD．又OPOFO，故CD面OPF．
5
f又CD面PCD，因此面OPF面PCD．从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，
故OPF为OP与面PCD所成的角．OPF60．设OPh，则OFOPta
OPFhta
60h．
根据题设有
OCP

225
，得
OC

OPta
OCP

hta
225
．由1
ta
45

2ta
2251ta
2225
和
ta
225

0
，
得ta
22521，因此OCh21h．在RtOCF中，cosCOFOF3h63，
21
OC21h
故cosCODcos2COF2cos2COF12632117122．
（20）【2013
年安徽，理
20，13
分】设函数
f

x

1
x

x222

x332

（1）对每个
N，存在唯一的
x



23
1
，满足
f

x


0
；

x
2
x

R，


N
．证明：
（2）对任意
pN，由（1）中
x

构成的数列x

满足0

x


x
p

1

．
解：（1）对每个

N
，当
x

0
时，
f


x
1
x2


x
1


0，故
f

x在0，内单调递增．
由于
f11

0
，当

2时，
f

1

122

132


1
2
0，故
f
10．
2k
又
f


23

1
23


k2

3k2

13

14

2k
k23

13

14


2
2

3
1


23

1


12


13


2
13

0
，
3
所以存在唯一的
x



23
1
，满足
f

x



0
．
（2r