)当x0时,
f
1x
f
x
x
1
12
f
x,故
f
1x
f
x
f
1x
10.
由f
1x在0,内单调递增知,x
1x
,故x
为单调递减数列,从而对任意
,pN,x
px
.
对任意
pN,由于
f
x
1
x
x
222
x
0,①
2
f
p
x
p
1x
+p
x2
p22
x
p
2
x
1
p
12
x
p
p
p2
0.②
①式减去②式并移项,利用0x
p
x
1,得x
x
p
k2
xk
p
k2
x
k
p
xkk
1
k
p
2
p
xkk
1
k
p
2
p1
k
1k2
p
1
k
1kk1
1
1
p
1
.因此,对任意
pN,都有0x
x
p
1
.
(21)【2013年安徽,理21,13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分
别由李老师和张老师负责.已知该系共有
位学生,每次活动均需该系k位学生参加
和k都是固定的正
整数.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都
能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(2)求使PXm取得最大值的整数m.
解:(1)因为事件A:“学生甲收到李老师所发信息”与事件B:“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件,
所以
A与
B
相互独立.由于PA
PB
Ck1
1
Ck
k
,故
P
A
P
B
1k,因此学生甲收到活动通知
信息的概率
P
1
1
k
2
2k
2
k2
.
(2)当k
时,m只能取
,有PXmPX
1.当k
时,整数m满足kmt,其中t是2k
6
f和
中的较小者.由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k位同学”所包含的基本事件总数为Ck
2.当Xm时,同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2km.仅收到李老师或
仅收到张老师转发信息的学生人数均为mk.由乘法计数原理知:事件Xm所含基本事件数为
CCCk2kmmk
k
k
Ck
Cmkk
Cmk
k
.此时
P
Xm
CCCk2kmmk
k
k
CCmkmk
k
k
.
Ck
2
C
k
当kmt时,PXmPXm1
CCmkmk
k
k
CC≤
m1kk
m1k
k
mk
12
m2k
m
m2kk12.假如k2kk12t成立,则当k12能被
2整除时,
2
2
k2kk122k1k12t.故PXm在m2kk12和m2k1k12处达最大值;
2
2
2
2
当k
12
不能被
2整除时,
P
X
m在
m
2k
k12
2
处达最大值.注:x
表示不超过
x
的最
大整数,下面证明k2kk12t.因为1k
,所以2kk12kk
k21
2
2
2
kk1k21k10.而2kk12
k12r