2001年全国高中数学联赛试题讲解
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f与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，
陕西赛区的平均成绩下降了近60分．为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考．
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（）．
Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．不确定
讲解：M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2
个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．
2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．
命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．
以上三个命题中正确的有（）．
Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个
讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方
体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命
题1正确，选Ｂ．
3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（）．
Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜
Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜
Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜
Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜
讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜
ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上
是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．
4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（）．
Ａ．ｋ＝8
Ｂ．0＜ｋ≤12
Ｃ．ｋ≥12
Ｄ．0＜ｋ≤12或ｋ＝8
讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论
知，应选结论Ｄ．
说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．
5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…
＋ａ1998的值为（Ａ．3333
）．Ｂ．3666
Ｃ．3999
Ｄ．32001
讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．
取ω＝－（1／2）＋（／2）ｉ，则ω３＝1，ω２＋ω＋1＝0．
令ｘ＝1，r