2004年全国高中数学联合竞赛试题
第一试
时间：10月16日
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、设锐角使关于x的方程x24xcoscot0有重根，则的弧度数为（）

A
6
Bor51212
Cor5612

D
12
2、已知Mxyx22y23Nxyymxb。若对所有
mR均有MN，则b的取值范围是（）
A

62
6
2

B

62
62
C232333
3、不等式
log2
x
1

12
log1
2
x3

2

0
的解集为（
）
D

2
33

2
33


fA23
B23
C24
D24
4、设O点在ABC内部，且有OA2OB3OC0，则ABC的面积与AOC的面积
的比为（）
3
A2
B
C3
2
5
D
3
5、设三位数
abc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，
则这样的三位数
有（）
A45个
B81个
C165个
D216个
6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，
O为底面圆的圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA4，C为PA的
中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）
5
A
3
25
B
3
6
C
3
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
26
D
3
f7、在平面直角坐标系xoy中，函数fxasi
axcosaxa0在一个最小正周期长的
区间上的图像与函数gxa21的图像所围成的封闭图形的面积是________________。8、设函数fRR满足f01，且对任意xyR都有
fxy1fxfyfyx2，则fx_____________________。
D1
C1
9、如图、正方体ABCDA1B1C1D1中，
A1
B1
二面角ABD1A1的度数是____________。
FE
DC
A
B
10、设p是给定的奇质数，正整数k使得k2pk也是一个正整数，则k____________。
f11、已知数列a0a1a2a

满足关系式3a
16a

18且a0

3，则

io
1ai
的值
是_________________________。12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，
当MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13、一项“过关游戏”规则规定：在第
关要抛掷一颗骰子
次，如果这
次抛掷所出现的
点数之和大于2
，则算过关。问：
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）
14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点A04B10C10，点P到直线BC的距离3
f是该点到直线AB，AC距离的等比中项。
（Ⅰ）求点P的轨迹r