x1
fx2
f
x3
2
f
x4
11444414117106970424567281680
因21dxl
2，则误差大约为：l
20697000039。
1x
6设f11f054f06f059f12则用复化辛甫生公式计算
1fxdx，若有常数M使f4M，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复1
化辛甫生公式）
0
1
1
解：1fxdxfxdxfxdx
1
0
1f14f051f01f04f051f1
6
6
6
6
6
6
11446649267111667
6
6
IS2

0f41x1x052x0dx14

10
f42x0x052x1dx4
M0x1x052x0dx1x0x052x1dx
241
0

M
1
x0x052x1
dx

M
05
t2025t2dt

M
00042
120
60
6
0008M
16
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
1
7已知高斯求积公式fxdxf057735f057735将区间01二等分，用复1
1
化高斯求积法求定积分xdx的近似值。（高斯公式）
0
1
12
1
解：xdxxdxxdx
0
0
12
12
对于
xdx作变量换x11t，有
0
44
12xdx111tdt110577351057735
0
81
8
1
对于
xdx作变量换x31t，有
12
44
1xdx113tdt130577353057735
12
81
8
1xdx1105773510577353057735305773506692
0
8
2
8试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式fxdxAfaBf0Cfa有尽2
可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数
精度的应用和计算，高斯点的特征）
解：分别取fx1xx2x3x4，使上述数值积分公式准确成立，有；

ABC4AaCa0

Aa
2


Ca2

163
Aa3Ca30


Aa
4

Ca4

645
整理得：
17
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
ABC4

A

C
a
2

A

C


16

3
a4
A

C

64

5
解得：AC10B16a12。
9
9
5
数值求积公式为
2fxdx10f1216f010f12
2
9
59
95
再取fxx5，左边2x5dx0，右边10125160101250
2
95995
再取fxx6，左边2x6dx256，右边1012616010126768
2
7
959
95
25
可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3，其代数精度达
到了2315次，故它是高斯型的。
9设P
x是01区间上带权xx的最高次幂项系数为1的正交多项式系
（1）求P2x。
1
（2）构造如下的高斯型求积公式0xfxdxA0fx0A1fx1。（高斯求积）
解（1）：采用施密特正交化方法，来构造带权xx且在0，1上正交的多项式序列
取P0x1，r