数值分析习题参考解答江世宏编
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第一章绪论学号
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习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为05105那么近似数0003400有几位有效数字？（有效数字的计算）
解：x03400102，xx110511023
2
2
故具有3位有效数字。
2314159具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）
解：031415910，欲使其近似值具有4位有效数字，必需
11014，11031103，即314109314209
2
2
2
即取（314109314209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知a12031，b0978是经过四舍五入后得到的近似值，问ab，ab有几位有
效数字？（有效数字的计算）
解：aa1103，bb1102，而ab21811，ab11766
2
2
ababaabb1103110211012
2
2
2
故ab至少具有2位有效数字。
ababbaaabb0978103120311020006511012
2
2
2
故ab至少具有2位有效数字。
4设x0，x的相对误差为，求l
x的误差和相对误差？（误差的计算）
xx
xx
解：已知
，则误差为l
xl
x

x
x
则相对误差为
l
xl
x
1
xx


l
x
l
xx
l
x
5测得某圆柱体高度h的值为h20cm，底面半径r的值为r5cm，已知
hh02cm，rr01cm，求圆柱体体积vr2h的绝对误差限与相对误差
限。（误差限的计算）
解：vhrvhr2rhrrr2hh绝对误差限为vhrv205252001520225
1
f数值分析习题参考解答江世宏编
相对误差限为
vhrv205v205


255220

120
4
6设x的相对误差为a求yx
的相对误差。（函数误差的计算）
xx
yyx
x

xx
解：
a，



a
x
y
x

x
7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1，问度量半径r时允许的相对误差限为多
大？（函数误差的计算）
解：球体积为vr4r3，vr4r3
3
3
vrvr4r2rrrr
欲使
vr

4r3
3
1，必须
r
3
rr1。
r
3
1
8设I
e1x
exdx，求证：
0
（1）I
1
I
1
012
（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
1
1
1
解：I
e1
x
dexe1x
ex1
0
x
1exdx1
e1
x
1exdx1
I
1
0
0
0
1
I0e1exdxe1e11e1
0
如果初始误差为0

I0

I
0
，若是向前递推，有



I


I



1


I

1


1


I

1



1

12
1
2

1
0
可见，初始误差0的绝对值被逐步地扩大了。
如果是向后递推
r