求积
的计算，高斯公式的构造。
h
1给定求积公式fxdxafhbf0cfh试确定abc使它的代数精度尽可能h
高。（代数精度的应用和计算）
解：分别取fx1xx2，使上述数值积分公式准确成立，有；
abc2hahch0
ah2ch22h33
解得：ahb4hch。
3
3
3
故求积公式为hfxdxhfh4hf0hfh。
h
3
3
3
再取fxx3，左边hx3dx0，右边hh34h0hh30
h
3
33
再取fxx4，左边hx4dx2h5，右边hh44h0hh42h5
h
5
3
33
3
此求积公式的最高代数精度为3。
2
求积公式
10
f
xdx
A0
f
0

A1
f
1

B0
f
0
，试确定系数
A0

A1
及
B0
，使该求积
公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算）
解：分别取fx1xx2，使求积公式准确成立，有
A0A11

A1

B0
12

A1

13
解得：
A0

23

A1

13

B0

16
。
求积公式为1fxdx2f01f11f0。
0
3
3
6
再取fxx3，左边1x3dx1201110右边
0
4336
故该求积公式的最高代数精度为2。
14
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
3数值积分公式3fxdx3f1f2，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式
0
2
的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征）
解：令fx1，3dx33113f1f2
0
2
2
fxx，3xdx93123f1f2
0
22
2
fxx2，3x2dx91531223f1f2
0
22
2
故代数精度为1。由于求积节点个数为2，代数精度达到1次，故它是插值型的求积公式。
b
4如果fx0，证明用梯形公式计算积分fxdx所得到的结果比准确值大，并说明其a
几何意义。（梯形求积）
解：梯形求积公式
Tbafafb2
是由过点afa，bfb的线性插值函数
Lxxbfaxafb
ab
ba
在ab上的定积分。
注意到：在区间ab上，fx0，而xaxb0，有
I
T

b
b
fxdxLxdx
b
fxLxdx
b
fxaxbdx0
a
a
a
a2
从而IT。
其几何意义可作以下解释：
在区间ab上，fx0，故曲线yfx下凹，直线yLx位于曲线之上，因
b
b
此，曲边梯形的面积Ifxdx小于梯形面积TLxdx。
a
a
15
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
5用
4的复化梯形公式计算积分21dx，并估计误差。（复化梯形求积）1x
解：h

214

14
，取求积节点为
xi
1
14
i
i

01
4

21
13xi1
3h
1
1
1
dx
x
i0
xi
dxx

i0
f2
xi
f
xi1
h2
f
x0
fr