1
x2dx
1

23
1
1
f1exdxee1，f2xexdx2e1
1
1
法方程组为
20
02
3

a1a2


ee1

2e1

解得：a1

12
e

e
1

，
a
2

e13
10
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
线性最佳平方逼近多项式为：pxee1e1x。23
3证明：切比雪夫多项式序列
Tkxcoskarccosx
在区间11上带权x11x2正交。（正交多项式的证明）
解：对于lk，有
11
TlTk1
coslarccosxcoskarccosxdx1x2
0
1


cosltcosktsi
tdtcosltcosktdt
1cos2t
0
1

2
cosl
0

kt

cosl

ktdt

12

l
1
k
si
l

k
t

l
1
k
si
l

k
t0
0
对于lk，有
1
TkTk
1
1cos2karccosxdx1x2
0

1

cos2ktsi
tdtcos2ktdt
1cos2t
0

11cos2kt
20
dt
1t2
12k
si
2k
t
0
2
故，序列Tkx在1，1上带权x
1正交。1x2
x1x23
4
求矛盾方程组：

x1

2x2

4的最小二乘解。（最小二乘法）
x1x22
解法一：求x1与x2，使得
fx1x2x1x232x12x242x1x222
达到最小。于是，令
11
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
fx1

2x1

x2
32x1
2x2
42x1

x2
2
0
fx2
2x1x2
32x12x2
422x1x2
210
即：32xx11
2x26x2

99
，其最小二乘解为：

x1x2
25714
。
06429
解法二：
11
3
11
2

1

x1x2


42
，记作
AX

b
，该矛盾方程组的最小二乘解，应满足以下方程组
AT
AX

AT
b
，即
32
2x1
6

x2


99
解之，得

x1x2

2571406429
。
5已知一组试验数据
xk
2253
4
555
yk
4456
8
85
9
试用直线拟合这组数据计算过程保留3位小数。（最小二乘线性逼近）
解：作矩阵
12
4
125
45
13
6
A1
4

，
y


8

15
85
155
9
法方程为
ATAXATy
即
622
22905

ab

4016125
解得：a12288，b14831。
其直线拟合函数为y1228814831x。
12
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
6用最小二乘原理求一个形如yabx2的经验公式使与下列数据相拟合
xk1925313844
yk
（最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表
x
2k
193234973397836162596114441936
yk
1932349
733
978
作线性拟合。其法方程组为：
55327
53277277699

ab

27143693215
解得：a09726，b00500
故经验公式为y09726005x2。
13
f2008信息与计算科学专业计算方法习题参考解答江世宏编
姓名
第四章数值积分学号
班级
习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化r