直线交于点M（i）求证：点M在定直线上（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求时点P的坐标
S1的最大值及取得最大值S2
【解析】Ⅰ由离心率是
322，有a4b，2
121，于是a1，2
2又抛物线x2y的焦点坐标为F0，所以b
所以椭圆C的方程为x4y1．
2
2
Ⅱ（i）设P点坐标为P（m
2
m2m0，2
x，所以E在点P处的切线l的斜率为m，由x2y得y′
m2因此切线l的方程为ymx－，2
设Ax1y1Bx2y2，Dx0y0，
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fm222将ymx－代入x4y1，得2
（14m2x2－4m3xm2－10．
于是x1x2
x1x24m32m3x，，0214m214m2
m2－m2又y0mx0，－2214m2
于是直线OD的方程为y－
1x．4m
联立方程y－
11x与xm，得M的坐标为Mm－．4m41上．4
所以点M在定直线y－
m2m2（ii）在切线l的方程为ymx－中，令x0，得y－，22
即点G的坐标为G0－
1m2m2，又Pm，F0，222
所以S1
1mm21m×GF；24
2m3－m2，得再由D4m2124m2112m212m3mm2m212S2××2244m184m21
S124m21m21于是有．S22m212
12t－t1S111222－2令t2m1，得2S2ttt
当
1t
S119时，即t2时，取得最大值．24S2
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f此时m
2
1221，m，所以P点的坐标为P．2224
所以
S1921的最大值为，取得最大值时点P的坐标为P．424S2
3、（2016年上海高考）有一块正方形菜地EFGHEH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（10），如图
（1）求菜地内的分界线C的方程（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为
8。设M是C上纵坐3
标为1的点，请计算以EH为一边、另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的经验值【解析】（1）因为C上的点到直线与到点F的距离相等，所以C是以F为焦点、以
为准线的抛物线在正方形FG内的部分，其方程为y24x（0y2）．
（2）依题意，点的坐标为1．所求的矩形面积为
14
511，而所求的五边形面积r