；x0x
10liml
1xl
xlim1l
1x
x
x
xx
x
lim1l
11lim1liml
110；
xx
xxxx
x
x
11
lim
x

32x22x
x


lim
x
1

2
12x
x


lim
x
1
2
12x
22x

22x
lim
x
1

122x
22x


e
x
1
lim

x22x2

lim
x

32
2x2x
x


1
e2
；
12
lim1
x
1xx2

lim
x
1

1
1x2
x2

x
1
limel

1
1x2

x2

x
x
elim1xx
l
1
1x2
x2
lim1liml
11x2
exxxx2e0l
ee01；
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13令arcsi
xu，则xsi
u，当x0，u0，
limarcsi
xlimu11；
x0x
u0si
ulimsi
u
u0u
14令arcta
xu，则xta
u，当x0，u0，
limarcta
xlimulimucosulim1limcosu1
x0x
u0ta
uu0si
u
u0si
uu0
u
习题26
1证明：若当x→x0时，x→0βx→0且x≠0，则当x→x０时，x～βx的充
要条件是limxx＝０xx0x
证：先证充分性
若limxx＝０，则lim1x＝0
xx0x
xx0
x
即1limx0，即limx1
xx0x
xx0x
也即
lim
xx0
xx

1
，所以当
x

x0
时，x
x
再证必要性：
若当xx0时，x
x，则limx1，xx0x
所以limxx0
xxx
＝limxx0
1x＝1lim
x
xx0
xx

1
1limx
11
0
xx0x
综上所述，当x→x0时，x～βx的充要条件是limxx＝０xx0x
2若βx≠0，limβx0且limx存在，证明limx0
xx0
xx0x
xx0
证：limxlimxxlimxlimxlimx00
xx0
xx0x
xxx0
xx0
xx0x
即
limx0
xx0
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3证明：若当x→0时，fxoxa，gxoxb，则fxgx＝oxab，其中ab都大于
0，并由此判断当x→0时，ta
x－si
x是x的几阶无穷小量
证∵当x→0时fxoxa，gxoxb
∴limx0
fxxa

AA
0limx0
gxxb

BB

0
于是
lim
x0
f
xgxxab

lim
x0
fxxa

gxxb

lim
x0
fxxa
limx0
gxxb

AB
r