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第二章
习题21
1试利用本节定义5后面的注（3）证明：若limx
a则对任何自然数k，有limx
ka



证：由lim

x


a
，知

0，N1，当


N1
时，有
x
a
取NN1k，有0，N，设
N时（此时
kN1）有
x
ka
由数列极限的定义得
lim
x
x

k

a
2试利用不等式ABAB说明：若limx
a则limx
a考察数列



x
1
，说明上述结论反之不成立证：
lim
x
x


a
0N使当
N时，有x
a
而
x
ax
a
于是0，N使当
N时，有
x
ax
a即x
a
由数列极限的定义得
lim

x


a
考察数列
x



1


，知
lim

x

不存在，而
x

1，lim

x

1，
所以前面所证结论反之不成立。
3利用夹逼定理证明：
1
lim


1
2

1
12


12
2

0；
2
lim
2
0


证：（1）因为
1111
1
2

2
2
12
2
2
2

2

而且
lim

1
2
0，lim2

0，
所以由夹逼定理，得
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lim


1
2



112


12
2


0

（2）因为02
222
123
所以，由夹逼定理得
224，而且lim40，

1



lim2
0

4利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在
1
x

1e

1
，
12…；
2x12x
1＝2x
12…
证：（1）略。
（2）因为x122，不妨设xk2，则
xk12xk222
故有对于任意正整数
，有x
2，即数列x
有上界，
又
x
1x
x
2x
，而x
0x
2，
所以
x
1x
0即
x
1x
，
即数列是单调递增数列。
综上所述，数列x
是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题22
1※证明：limfxa的充要条件是fx在x0处的左、右极限均存在且都等于axx0
证：先证充分性：即证若limfxlimfxa，则limfxa
xx0
xx0
xx0
由limfxa及limfxa知：
xx0
xx0
010当0x0x1时，有fxa，
20当0xx02时，有fxa。
取mi
12，则当0x0x或0xx0时，有fxa，
而0x0x或0xx0就是0xx0，r