1x3


lim
x1
1
x1
x2x3
3
x2x2
x2x1
limx1
1x3

lim
x1
1

x1

x

x
2

（11）
x2
lim
1
x11xx2
当x0时，x2是无穷小量，si
1是有界函数，x
它们之积
x2
si

1x
是无穷小量，即
lim
x0

x2
si

1x


0
。
求下列极限其中a＞0a≠1为常数）：
习题25
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si
5x
1lim

x03x
1cosx
4lim

x0
x
ta
2x
2lim

x0si
5x
5
lim
x0
cos5xcos2x
x2

3limxcotxx0
6
lim
x

x1
x
x

7
lim
1
3si

x
cotx

x0
ax1
8lim

x0x
axax
9lim

x0
x
10
lim
l
1xl
x

x
x
11
lim
x

32

2x2x
x


12
lim
x
1
1x2
x


arcsi
x
arcta
x
13lim

14lim


x0
x
x0
x
解：1limsi
5xlim5si
5x5limsi
5x5；x03xx035x3x05x3
2limta
2xlimsi
2xlim21si
2x5xx0si
5xx0cos2xsi
5xx05cos2x2xsi
5x
2lim1limsi
2xlim5x2；5x0cos2x2x02x5x0si
5x5
3limxcotxlimxcosxlimxlimcosx1cos01；
x0
x0si
x
x0si
xx0
4limx0
1cosxlim
x
x0
2si
2x
2lim
x
x0
2si
x2lim
2
si
x2
x
x02
x
2

2
si
xlim2

21
2；
2x0x
2
2
2
5
lim
x0
cos
5xcosx2
2x

lim
x0
2si

7x
2x2
si

3x2

lim
x0
2

72

32

si
7
72x
x

si
3
32x
x


2
2


21
lim
si

72
x

lim
si

32
x


21
；
2x07xx03x
2
2
2
x

6
lim
x

1
x
x
x

limx
11x

lim11；x11xe
x
x
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7
lim13si

xcotx
lim13si

cosx
xsi
x
lim13si

13cosxx3si
x
x0
x0
x0

1
lim13si
x3si
xelim3cosx3
x0
x0
lim13si
xcotxe3x0
8令uax1，则xloga1u，当x0时，u0，
limax1lim
u
lim
1
x0x
u0loga1u
u0
1u
loga
1
u

1
1
lim
u0
loga
1

u

u

1logae
l
a
9
limaxax
x0
x

lim
x0
ax
1
axx
1


lim
x0

ax1x

ax1
x

limax1limax1l
al
a2l
a
x0x
x0x
（利用了第8题结论limax1l
a）r