［fxgx］可能存在，也可能不存在，如：fxsi
x，gx1，则
xx0
x
limsi
x0，lim1不存在，但lim［fxgx］lim1si
x0存在。
x0
x0x
xx0
x0x
又如：fxsi
x，gx1，则limsxi
，1lim1不存在，而
cosx
xπ
xπcosx
2
2
lim［fxgx］limta
x不存在。
xx0
xπ
2
2若limfx和limgx均存在，且fx≥gx，证明limfx≥limgx
xx0
xx0
xx0
xx0
证：设
lim
xx0
fxA，
lim
xx0
gxB，则


0
，分别存在
1

0
，
2

0
，使得当
0xx01时，有Afx，当0xx02时，有gxB
令mi
12，则当0xx0时，有
AfxgxB
从而AB2，由的任意性推出AB即
limfxlimgx
xx0
xx0
3利用夹逼定理证明：若a1a2，…，am为m个正常数，则
lim



a1
a2

am
A
其中Amaxa1a2…，am
证：因为
A
a1
a2
am
mA
，即
1
A
a1
a2
am
m
A
1
而limAA，limm
AA，由夹逼定理得



lim



a1


a2


am
A
4※利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝2x222…，
x
1
2
x

（
12…），则lim

x
存在，并求该极限
证：因为x12x222有x2x1今设xkxk1，则xk12xk2xk1xk，由数学归纳法知，对于任意
正整数
有x
1x
，即数列x
单调递增。
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又因为x122，今设xk2，则xk12xk222，由数学归纳法
知，对于任意的正整数
有x
2，即数列
x

有上界，由极限收敛准则知
lim

x

存在。
设
lim

x


b
，对等式
x
1

2x
两边取极限得b
2b，即b22b，
解得b

2
，
b

1（由极限的保号性，舍去），所以
lim

x


2

5求下列极限：
1
lim

3
32
4；5
3
2
1
2
lim

1
1
2

cos


；
3lim
2


4
lim

2
3
2
13
1
；
115lim2
113

12



13

解：（1）原式lim
3
2
2

4
3
3；


5
1


1
2

1
3
5
（2）因为lim110，即当
时，11是无穷小量，而cos
是有界变


2

2
量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷r