yz
试求函数fxyz并证明7fxyz13xyz
2007年
一、解答下列各题（每小题7分，总计70分）
1、设zf2xyxy，其中f具有一阶连续偏导数，求dz
2、设zarcta
yl
x2y2，求2z
x
xy
fx
y
3、求曲面2z2z8在M0221处的切平面和法线方程。
4、设fx2y2exyT，求Df11df11。（求fx3y33x23y2的极值）
5．求曲线
x2

y2

z2

6在121
处的切线和法平面方程。
xyz0
6．若fr为可微函数，其中rx2y2z2，计算gradfr。
a
2ax
7．在直角坐标系下，交换二次积分dx
fxydy的积分次序。（a0f连续）。
0
aa2x2
8．设有一物体由曲面zx2y2和z8x2y2所围成，已知它在任意一点Mxyz
处的密度z，求此物体的质量。
9．一质量分布均匀（密度为常数）的物体由曲面zx2y2x2y21及z0所围成，
求此物体的质心坐标。
1
3x
y2
10．计算dxe2dy。
0
x
二、（8分）设zzxy由方程x2y2z2yfz确定，其中f具有一阶连续偏导数，求y
yzxzxy
x2y
三、（8
分）设
f
x
y


x2

y2

0
xy00，试讨论f在点00处的连续性和可微性
xy00
四、（8分）在第一卦限内作旋转抛物面z1x2y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面
z1x2y2x0y0及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点的坐标。
五、（6分）设fxy在单位圆x2y21上有连续的一阶偏导数，且在边界上取值为零，证
明：f00lim1
02D
xfxx2

yfyy2
dxdy
，其中
D为圆环域2

x2

y2
1
2006年
一、解答下列各题（每小题7分，总计70分）
1、设zfx2xyxy，其中f具有一阶连续偏导数，求dz
2、设z

f
xy
y，其中x
f
具有二阶连续偏导数，求2zx2
3、求曲线rrttt23t1上一点处与平面x2yz4平行的切平面方程。
f4、求曲面x2y2z25的平行于平面2x2yz1的切平面方程。22
2
4y
5、交换二次积分的积分次序：dyfxydx。
0
y
1
3x
y2
6、计算dxe2dy
0
x
7、设fu是连续函数，试将
2
dx
x
f
x2y2dy在极坐标系下为二次积分。
0
0
r
8、设函数fxyzxyzxzyxyz6，问在点M340处沿怎样的方向l，f的
变化率最大？并求此最大变化率。
9、计算二重积分x2y2dxdy，其中D为x2y22x所围平面区域。
D
10、（注学习工科分析基础的作（1），其余作（2）
（1）证明等式fxydxdyl
22fudu，其中D是由直线yxy2x与双曲线
D
21
xy1xy2所围成的位于第一象限的闭域。
（2）把正数a分成三个正数r