20102011学年第二学期高数期末考试题一填空题每小题4分共20分
1z4x29y2点21的梯度gradz1618
2fxyx4y4x22xyy2的极值点是
1111
3假设L为圆周x2y2a2的右半部分
则x2y2dsa2L
4设Aexsi
yi2xy2zjxzy2k则divA1010
5设y13y23x2y33x2ex都是方程
x22xyx22y2x2y6x6
的解则该方程的通解为yC1x2C2ex3
二本题8分计算三重积分
x2y2z2dv，

其中是由x2y2z21所围成的闭球体
原式
2
d

d
1r2r2si
dr4
0
0
0
5
三本题8分
证明fxyxy在点00处连续
fx00与fy00存在但在00处不可微
f1因为limxy0f00x0y0
所以fxyxy在点00处连续
2
fx00

lim
x0
f
x0x
f
00
0
同理fy000
所以fx00与fy00存在
3因为limffx00xfy00y不存在
x0y0
x2y2
所以fxy在00处不可微
四本题8分
设函数uxy有连续偏导数试用极坐标与
直角坐标的转化公式xrcosyrsi
将xuyu变换为r下的表达式
yx
由xrcosyrsi
得到rx2y2arcta
y从而
x
frcosrsi
si
cos
x
y
x
ryr
于是xuyuu
yx
五本题8分
L
xdyx2

ydxy2

其中L为
1圆周x12y121按反时针方向
计算
2闭曲线xy1按反时针方向
1圆周x12y121按反时针方向
由于QPxy00利用格林公式
xy
L
xdyx2

ydxy2

0
2闭曲线xy1按反时针方向
作小圆lx2y22取顺时针方向
则在复连通区域上用格林公式有
xdyydxxdyydx2
Lx2y2
lx2y2
六本题8分
计
算
f计算ydS是平面xyz4被圆柱面x2y21
截出的有限部分
z4xydS3dxdy
在xoy面的投影区域为Dx2y21
则ydS3ydxdy0对称性

D
七本题8分计算曲面积分Iyzdzdx2dxdy
其中为上半球面z4x2y2的上侧
z4x2y2取上侧
即法向量
xyz利用对坐标的转换
dzr