组得xy2z1LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL7分根据问题的实际意义，最小值总存在，所以水箱底是边长为2m的正方形，高为1m时，用料2m2为最省。LLLLLLLLLLLL8分
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f2、计算∫∫xydσ其中D是抛物线y2x及直线yx2所围成的闭区域
D
解：D可表示为1≤y≤2y2≤x≤y2LLLLLLLLLLL2分区域则∫∫xydσ∫dy∫2xydxLLLLLLLLLLLLLLLLL5分
D1y2y2

124525∫1y2yydy8LLLLLLLLLLLLLLLL8分2



3、计算∫∫∫zdV，其中是由半球体：x2y2z2≤R2z≥0
学号
解：积分区域可以用球面坐标系表示为0≤r≤R0≤≤
2π
线
π
2
0≤θ≤2πLLLLLLLLLLLLLL3分
π
R
栏
姓名
则∫∫∫zdV∫dθ∫2d∫rcosr2si
drLLLLLLLL6分
000
πR12π∫2si
dsi
∫r3drπR4LLLLLLLLLLLL8分004
4、计算∫xydxyxdy，其中L是：
L
息
1抛物线y2x上从点11到点42的一段弧；2从点11到点42的直线段；3先沿直线从点11到点12，然后再沿直线到点42的折线。2234解：1原式∫y2y2yyy2dy∫2y3y2ydyL3分1132过点1142的直线方程为x3y2dx3dy
则原式∫34y222ydy∫10y4dy11LLLLLL5分
1122
信
考
级班级
生
订
专业
3过点1112的直线方程为x1dx01≤y≤2，
装
则I1∫y1dy
1
12过点1242的直线方程为y2dy01≤x≤4，
24
2712综上，原式I1I214LLLLLLLLLLLLLLLLLLL8分则I2∫x2dx
系
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f五、综合题（6分）请把答案写在问题的下面。综合题（，请把答案写在问题的下面。
得分阅卷人
xy设uyfxg，f与g都具有连续二阶偏导数，yx1计算2u2u2u2u0和；2验证x2yx2xyxxy
解1
uxyyyf′gg′LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL1分xyxxx
2ux1yyyyy2yx1y2yf′′2g′2g′3g′′f′′3g′′LLLLLL3分2xyyxxxxxxyyxx2uyxxy1y1yyxxyf′′2g′g′2g′′f′′22g′′LL5分xyxyyxxxxxxyyx2222xxyyxxyyuu2验证x2yf′′2g′′f′′2g′′0LLLL6分xxyyyxxyyxx
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