第七节正弦定理、余弦定理应用举例
考纲传真能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
术语名称
测量中的有关几个术语术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角方向角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方
向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是
0°≤θ＜360°
例：1北偏东
α：相对于某正方向的水平角，如北偏东α，即由正
北方向顺时针旋转α到达目标方向，南偏西α，
即由正南方向顺时针旋转α到达目标方向，其2南偏西α：他方向角类似
基础自测
1．思考辨析判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”
1从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为
α＋β＝180°

2俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2

3方位角的大小范围是02π，方向角的大小范围一般是0，π2
f4若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°答案1×2×3√4×2．教材改编海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10
mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于
A．103
mile
106B3
mile
C．52
mileD如图，在△ABC中，
D．56
mile
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，∠C＝45°，
∴si
BC60°＝si
1045°，
∴BC＝56
3．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，
则点A在点B的
A．北偏东15°
B．北偏西15°
C．北偏东10°
D．北偏西10°
B如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°4．如图所示，要测量底部不能到达的电视塔的高度，选择甲、乙两观测点．在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是
fA．1002m
B．400m
C．2003m
D．500m
D设塔高为xm，则由已知可得
BC＝xm，BD＝3xm，
由余弦定理可得
BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD，即3x2＝x2＋5002＋500x，解得x＝500m．
5．如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河
岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两
点的距离为
A．503m
B．253m
C．252m
D．502m
D因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°由正弦定理可知sAi
r