第六节正弦定理和余弦定理
考纲传真掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理和余弦定理
定正弦定理
理
余弦定理
公
asi

A＝si
b
B＝si
c
C＝2RR
为△ABC
外接圆半
a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；
式径
c2＝a2＋b2－2abcos_C
公1a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C；
式2a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；
变形
3si
A＝2aR，si
B＝2bR，si
C＝2cR
cosA＝b2＋2cb2c－a2；cosB＝c2＋2ac2a－b2；cosC＝a2＋2ba2b－c2
2在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式a＝bsi
A
bsi
A＜a＜b
解的个数
一解
两解
3三角形常用面积公式
1S＝12ahaha表示边a上的高；
2S＝12absi
C＝12acsi
B＝12bcsi
A；
a≥b一解
a＞b一解
f3S＝12ra＋b＋cr为内切圆半径．
常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：A＋2B＝2π－C2
2．三角形中的三角函数关系
1si
A＋B＝si
C；2cosA＋B＝－cosC；
2si
A＋2B＝cos
C2；4cosA＋2B＝si

C2
3．在△ABC中，si
A＞si
BA＞Ba＞b，
cosA＞cosBA＜Ba＜b
4．三角形射影定理
a＝bcosC＋ccosB
b＝acosC＋ccosA
c＝acosB＋bcosA
5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
基础自测
1．思考辨析判断下列结论的正误．正确的打“√”，错误的打“×”
1在△ABC中，若A＞B，则必有si
A＞si
B．
2在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．
3在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°
4在△ABC
中，si
a
A＝si

a＋b－cA＋si
B－si

C


解析1正确．A＞Ba＞bsi
A＞si
B2错误．由cosA＝b2＋2cb2c－a2＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三
角形．
3错误．由b＜a知，B＜A
4正确．利用a＝2Rsi
A，b＝2Rsi
B，c＝2Rsi
C，可知结论正确．
答案1√2×3×4√
f2．教材改编在△ABC中，若si
2A＋si
2B＜si
2C，则△ABC的形状是
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
C由正弦定理，得2aR＝si
A，2bR＝si
B，2cR＝si
C，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝a2＋2ba2b－c2＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角
三角形．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos
A＝23，则b＝
A2
B3
C．2
D．3
D由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，
解得b＝3或b＝－13舍去，故选D4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于
A．32
B．62
C．26
D．36
B由正弦定理得si
aA＝si
cC，所以a＝cssii
CAr