第十三讲圆的基本性质在课内同学们已学了圆的许多基本性质，在此基础上，我们再补充一些与圆有关的性质．§13．1圆内角与圆外角13．与圆有关的角我们学习过圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对或夹的弧的度数之间的关系．如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，如图3－28中的∠APB即为圆内角．圆内角的大小究竟与弧有何关系呢？延长AP，BP分别交圆于C，D两点，再连结AD，则∠APB∠A∠D．因为
所以
即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半，其中圆心角是特殊的圆内角．
如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角，如图3－29中的∠APB即为圆外角，圆外角的度数与它所夹两弧的度数有关．连结AD，则∠P∠CAD∠D．因为
f所以
即圆外角的度数等于它所夹两弧度数差的一半．
§13．2圆内接多边形13．1．圆内接三角形与正弦定理在前一讲中我们介绍了正弦定理，利用三角形的外接圆不但可以证明正弦定理，而且还能得出更完满的结果．
如图3－30所示．设⊙O为△ABC的外接圆，⊙O的半径为R，连接BO并延长交⊙O于A′，连结A′C，则∠A∠A′，且∠A′CB90°，所以
f上面这个等式就是正弦定理，它说明任意一个三角形中，一边与其所对的角的正弦值之比都等于该三角形的外接圆的直径．2．圆内接四边形与四点共圆任意一个三角形都存在外接圆，但是任意一个四边形不一定存在外接圆．什么样的四边形外接于圆呢？我们知道，圆内接四边形对角互补，这个性质定理的逆命题就是圆内接四边形的判定定理，即对角互补的四边形是圆内接四边形．我们学过圆的这个性质：同弧所对的圆周角相等，如图3－31中A，B，C，A′在圆O上，则∠A∠A′．这个性质的逆命题就是四点共圆的判定定理，即具有公共边的且同侧公共边所对的角相等的两个三角形共圆，如图3－32所示．△ABC与△A′BC中∠A∠A′，则A，B，C，A′四点共圆．
§13．3圆外切多边形的性质及判定13．1．三角形内切圆半径如图3－33所示，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点，设内切圆半径为r，连接AO，BO，CO，则有
f若△ABC为直角三角形，如图3－34所示，⊙I为其内切圆，D，E，F为切点．由切线长定理知，ADAF，BDBE，CECF，所以有ACBCABCFCE．又因为四边形IECF是边长为r的正方形，所以CFCE2r，
即直角三角形内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半．2．圆外切四边形根据切线长定理可推出，圆外切四边形两组对边和相等，即ADBCABCD如图3r