第十四讲两圆的位置关系平面上两个半径不等的圆的位置关系可分为五种情况，如图3－44所示．
利用两圆圆心距d及两圆半径R，rR＞r这三个量可以判定两圆位置关系：
当d0时，两圆又称为同心圆．对于半径相等的两个圆，在同一平面上的位置关系只有外离、外切、相交这三种情况．我们知道圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴．在由两圆组成的平面图形中，经过两圆圆心的直线即为图形的对称轴．利用轴对称的性质，很容易理解和掌握由两圆所组成的图形中的许多性质．如图3－45所示．⊙O1与⊙O2交于A，B两点，l为过O1，O2的直线，则l为两圆所组成的图形的对称轴．由轴对称性不难得到性质：连心线l垂直平分公共弦AB；外公切线长相等，即CDEF；两条外公切线的夹角被l平分，即∠1∠2．
f同样，两圆外切、外离、内切时的一些性质，也可以用轴对称性去理解和记忆．
例1如图3－46所示．两圆内切于P点，大圆的弦AB切小圆于Q，连结AP，BP交小圆于C，D，连接PQ交CD于H．求证：
2∠APQ∠QPB．分析若能证出CD∥AB，则
则∠QCD∠2，由AB与小圆切于Q，可知∠AQC∠1，只须证明∠QCD∠AQC．证因为两圆内切于P点，过P作两圆的公切线EF，所以∠PDC∠EPC，∠PBA∠EPA，所以从而∠PDC∠PBA，AB∥CD．
f2连结CQ，则∠QCD∠2．因为AB切小圆于Q，所以∠1∠AQC．因为AB∥CD，所以∠AQC∠QCD∠2，所以∠1∠2，即∠APQ∠QPB．说明两圆相切时，过切点作两圆的公切线，这是添辅助线常用的方法．
⊙P的圆心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直例2如图3－47所示．线与⊙p相切于C，若⊙P的半径为r，⊙O的半径为R．1求证：PAPB2Rr；2⊙O和⊙P的交点D，交⊙P于E，AD若⊙O和⊙P的面积之比为9∶4，且PA10，PB48，求DE和AE的长．
由这四条线所构成的三角形能否相似，因此，连接PC，过A作直径AF，连接PF，来证明△PCB∽△APF．2由两圆面积为9∶4，可知两圆半径之比为3∶2，再利用2RrPAPB1048可求出两圆半径．在Rt△PAC与Rt△PAF中，可利用勾股定理分别求出AC及PF的长．因为∠ADP∠F，所以cos∠ADPcos
f∠FPF／AF．连接PE，在等腰△PED中，已知PDPEr及cos∠ADP，可求出DE，再利用切割线定理AC2AEAD，求出AE．证1过A作⊙O的直径AF，连接PF，PC．因为AF为⊙O的直径，所以∠FPA90°．因为AC切⊙P于C，所以∠PCB90°．又因为∠PBC∠F，所以△PCB∽△APF，所以
所以2因为
PAPB2Rr．
设R3x，则r2x．因为PAPB2Rr且PA10，PB48，所以10×481r