一、选择题每小题6分共36分
1设等差数列a
满足3a85a13且a10S
为其前项之和则S
中最大的是AS10BS11CS20DS21
2设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1Z2…Z20则复数Z1995
1Z1995
2…Z1995
20所对应的不同的点的个数是A4B5C10D20
6设O是正三棱锥PABC底面三角形ABC的中心过O的动平面与PC交于S与PA
PB的延长线分别交于QR
则和式1PQ1PR1
PS
A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值
C既有最大值又有最小值两者不等D是一个与面QPS无关的常数二、填空题每小题9分共54分
1设αβ为一对共轭复数若αβ23且
α
β2
为实数则α2一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为
3用x表示不大于实数x的最大整数方程lg2
xlgx20的实根个数是
4直角坐标平面上满足不等式组y≤3x
y≥x
3xy≤100
的整点个数是
5将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色并使同一条棱的两端点异色如果只有5种颜色可使用那么不同的染色方法的总数是
6设M123…1995A是M的子集且满足条件当x∈A时15xA则A中元素的个数最多是
f第二试
一、25分给定曲线族22si
θcosθ3x28si
θcosθ1y0θ为参数求该
曲线在直线y2x上所截得的弦长的最大值
二、25分求一切实数p使得三次方程5x35p1x271p1x166p的三个根均为
正整数
四、35分将平面上的每个点都以红蓝两色之一着色。证明存在这样两个相似的三角形它们的相似比为1995并且每一个三角形的三个顶点同色
f1995年全国高中数学联赛一试解答
一、选择题每小题6分共36分
1设等差数列a
满足3a85a13且a10S
为其前项之和则S
中最大的是
AS10BS11CS20DS21
【答案】C
【解析】3a7d5a12dd2
39a令a
a
2
39
a
1≥0a
1a
2
39
a
0
得
20选C
3如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大则称甲不亚于乙在100个小伙子中如果某人不亚于其他99人就称他为棒小伙子那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有
4已知方程x2
kx
∈N在区间2
12
1上有两个不相等的实根则k的取值范围是
Ak0B0k≤
1
2
1
C
1
2
1
k≤
1
2
1
D以上都不是
【答案】B
【解析】由x2
≥0故k≥0若k0可知在所给区间上只有1解故k0
由图象可得x2
1时kx≤1即k≤
1
2
1
故选B
又解yx2
2与线段yk2x2
1x≤2
1有两个公共点x24
k2x4
20有2
12
1上有两个根故△4
k2216
20且2
124
r