2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
一、选择题每小题6分，共36分
1．2020年全国高中数学联赛删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，
得到一个新数列．这个数列的第2020项是
A2046
B2047
C2048
D2049
2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－yb0和曲线bx2ay2ab的图形是
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
3．过抛物线y28x2的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于
A
163
B
83
C
163
3
D83
4．若x∈－512，－3，则yta
x23－ta
x6cosx6的最大值是
A
125
2
B
116
2
C
116
3
D
125
3
二．填空题每小题9分，共54分
7．不等式x3－2x2－4x30的解集是
．
x2y28．设F1、F2是椭圆941的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1∶PF22∶1，则△
PF1F2的面积等于
．
9．已知Axx2－4x30，x∈R，
Bx21－xa≤0，x2－2a7x5≤0，x∈R
若AB，则实数a的取值范围是
．
10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab32，logcd54，若a－c9，则b－d
．
11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的
f四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于
．
12．设M
十进制
位纯小数0－a1a2…a
ai只取0或1i1，2，…，
－1，a
1，
T
是M
中元素的个数，S
是M
中所有元素的和，则
l→im∞ST

．
五、本题满分20分15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OAa，折叠纸片，使圆周
上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．
f加试题10月12日上午10001200一、（本题50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ∠PBC．求证：∠DBQ∠PAC．
二、（本题50分）设三角形的三边长分别是正整数l，m，
．且lm
0．已知130l4130m4130
4，其中xx－x，而x表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．
三、（本题50分）由
个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中
q2q1，l≥12qq121，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形．
f2020年全国高中数学联赛解答
第一试
一、选择题每小r