k22
14
20
2
124
k22
14
2≥02
12
1
2
k22
1k≤
1
2
1
f6设O是正三棱锥PABC底面三角形ABC的中心过O的动平面与PC交于S与PA
PB的延长线分别交于QR则和式1
PQ
1
PR
1
PS
A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值
C既有最大值又有最小值两者不等D是一个与面QPS无关的常数
二、填空题每小题9分共54分
1设αβ为一对共轭复数若αβ23且α
β2
为实数则α
【答案】2
【解析】设αxyixy∈R则αβ2y∴y±3
设argαθ则可取θ2θ2π因为只要求α故不必写出所有可能的角θ23
π于是x±1α2
f3用x表示不大于实数x的最大整数方程lg2xlgx20的实根个数是【答案】3
【解析】令lgxt则得t22t作图象知t1t2及1t2内有一解
当1t2时t1t3故得x
1
10
x100x103即共有3个实根
5将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色并使同一条棱的两端点异色如果只有5种颜色可使用那么不同的染色方法的总数是
【答案】420
【解析】顶点染色有5种方法
底面4个顶点用4种颜色染A4424种方法用3种颜色选1对顶点C12这一对顶点用某种颜色染C14余下2个顶点任选2色染A23种共有C12C14A2348种方法用2种颜色染A2412种方法
∴共有5244812420种方法
6设M123…1995A是M的子集且满足条件当x∈A时15xA则A
中元素的个数最多是
f
第二试
一、25分给定曲线族22si
θcosθ3x2
8si
θcosθ1y0θ为参数求该曲线在直线y2x上所截得的弦长的最大值【解析】以y2x代入曲线方程得x0x
8si
θcosθ1
2si
θcosθ3
∴所求弦长l
8si
θcosθ12si
θcosθ35故只要求x的最大值即可
由2x8si
θx1cosθ13x2x82x12≥13x2即x2
16x16≤0
解之得8≤x≤2即x≤8当si
θ±2425cosθ7
25
时即可取得最大值故得最大弦长为85
f三、35分如图菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于EFGH在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M交BC于N交CD于P交DA于Q求证MQ∥NP
分析要证MQ∥NP因AB∥DC故可以考虑证明∠AMQ∠CPN现∠A∠C故可证ΔAMQ∽ΔCPN于是要证明AM∶AQCP∶CN
四、35分将平面上的每个点都以红蓝两色之一着色证明存在这样两个相似的三角形它们的相似比为1995并且每一个三角形的三个顶点同色
AB边上的分点共有
1个由于
为奇数故必存在其中两个相邻的分点同色否则任两个相邻分点异色则可得A、B异色不妨设相邻分点E、F同色考察E、F所在的小矩形的另两个顶点E、F若E、F异色则△EFE或△DFF为三个顶点同色的小直角三角形若E、F同色再考察以此二点为顶r