第七章
弹性力学平面问题的极坐标系解答
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标rθ来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。
第1节
平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一点的物理量为rθ函数。体力：frKrfθKθ面力：KrFrKθFθo
θ
rPy
x
σσθτrθτθr应变：εrεθγrθγθr
应力：r位移：ur
uθ
直角坐标与极坐标之间关系
yrsi
θrθsi
θcosxrxθxrrθ
xrcosθ
rθcosθsi
θrθyryθyr
11平衡微分方程
σr1τθr1σrσθfr0rrθr
τrθ1σθ2τrθfθ0rrθr
1
f12
几何方程
εr
urr
，
εθ
ur1uθrrθ
，
γrθ
1uruθuθrrθr
13变形协调方程
12εr12121εrrεθ2rγrθ0rrr2θ2rr2rrθ
14物理方程平面应力问题：
εr
1121νσrνσθ，εθσθνσr，γrθτrθEEEEνE→平面应变问题将上式中，ν→即得。1ν1ν2
位移边界条件：ur力的边界条件：
15边界条件12
ur，uθuθ
在
su
上
rrrrσrcosrτθrcossKrFr
rrrrτθrcosrσrcossKθF
θ
rr
rσr±Krτrθ±Kθ环向边界
径向边界16按位移法求解基本未知函数为位移ur
在
sσ
上
（rr0）（θθ0）
rrrr
s
⊥rτθr±Krσθ±Kθ
uθ
，应变、应力均由位移导出。
2
f平面应力问题时的应力由位移表示
σr
EEεrνεθ1ν21ν2
1uθururνrrθr
σθ
uEE1uθurεθνεrνrrr1ν21ν2rθ
τrθ
EE1uruθuθγrθ21ν21νrθrr
上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程即位移法的基本方程。
σr1τrθσrσθKr0rrθr
τrθ1σθ2τrθKθ0rrθr
力的边界条件也同样可以用位移表示。17按应力法求解在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
σxτxyfx0xyτxyσyfy0xyfyf2σxσy1νxxy
其中
22＝22xy
2
3
f在极坐标按r